【29470】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 证明题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2$ 收敛，记 $y_n=\prod_{k=1}^n \cos x_k$ ，证明：数列 $y_n$ 收敛．

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【29469】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 设 $\frac{(x-y) d x+(x+y) d y}{\left(x^2+y^2\right)^n}$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid x>0\}$ 内是某二元函数 $u=u(x, y)$ 的全微分，求 $n$ 以及 $u(x, y)$ ．

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【29468】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 设 $f(x, y)=\max \{x, y\}$ ，区 域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ，计 算 二 重 积 分 $I=\iint_D f(x, y)\left|y-x^2\right| d x d y$.

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【29467】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 计算 $\iint_{\Sigma} x e^z d y d z+y e^z d z d x-2 e^z d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{x^2+y^2}-1$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间部分的下侧．

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【29466】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 计算 $\iint_{\Sigma}(8 y+1) x d y d z+2\left(1-y^2\right) d z d x-4 y z d x d y$ ，其中 $\sum$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0,\end{array}(1 \leq y \leq 3)\right.$绕 $y$ 轴旋转一周所生成的曲面，其法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$ ．

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【29465】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 设某线形构件形状为曲线 $x=e^t \cos t, y=e^t \sin t, z=e^t$ ，其上每点处的线密度与该点向径的模的平方成反比，并且在点 $(1,0,1)$ 处的密度为 1 ，求该构件对应 $t$ 从 $t=0$ 到 $t=t_0$ 这一段的质量．

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【29464】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=3$ ，令 $z=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{x=2, y=3}$.

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【29463】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 解答题 设平面 $\Pi$ 与平面 $5 x-y+3 z-2=0$ 垂直，且它们的交线在 $x o y$ 平面上，求平面 $\Pi$ 的方程。

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【29462】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 填空题 设 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0$ ，以及 $x+y+z=1$ 所围四面体的边界曲面的外侧，则曲面积分 $\oint_{\Sigma} x y d y d z+y z d z d x+z x d x d y=$

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【29461】 【 同济大学2024年《高等数学A下》期末考试试卷】 填空题 设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^2 d S=$ ．

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