【29949】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 填空题 $A$ 为3阶矩阵，$A-E, A+2 E, 2 A-E$ 为不可逆矩阵，则 $|A+3 E|=$ $\qquad$

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【29948】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 填空题 $A$ 为 3 阶矩阵，$A$ 有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$ ，则 $|A| A^{-1}-E \mid=$ $\qquad$

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【29947】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 解答题 设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ ，用施密特正交化方法把这组向量标准化．

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【29946】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 填空题 设 $n$ 阶矩阵 $A =\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，证明 $A ^T A$ 是对角矩阵 $\Leftrightarrow \alpha _1, \alpha _2, \cdots \alpha _r$ 两两正交．

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【29945】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 解答题 设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性无关，$\alpha_2=\alpha_1+2 \alpha_3-\alpha_4$ ， $\alpha_1-\alpha_2-2 \alpha_3+3 \alpha_4+\alpha_5=0$ ，试求 $A x=\alpha_5$ 的通解．

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【29944】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 解答题 设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x = b$ 的三个解，且 $R( A )=2$ ， $\eta_1+\eta_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \quad \eta_1+\eta_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求方程组 $A x=b$ 的通解．

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【29943】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 解答题 设向量组 $\alpha _1=(\lambda+3, \lambda, 3 \lambda+3), \alpha _2=(1, \lambda-1, \lambda), \alpha _3=(2,1, \lambda+3), \beta =(\lambda, \lambda, 3)$ ，问 $\lambda$ 取何值时，方程组 $A x = \beta$ （1）无解； （2）有唯一解； （3）有无穷多解？

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【29942】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 解答题 求解方程组$$ \left\{\begin{array}{c} x_1-x_2-x_3+x_4=0, \\ x_1-x_2+x_3-3 x_4=2, \\ x_1-x_2-2 x_3+3 x_4=-1 . \end{array}\right.$$

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【29941】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 证明题 设四元齐次线性方程组 $$ I:\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0 ; \end{array} \quad \text { II }:\left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=0 \\ x_2-x_3+x_4=0 \end{array}\right.\right. $$ 求：（1）方程组I与II的基础解系；（2）I与II的公共解。

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【29940】 【 新文道线性代数讲义第四讲 方程组的解的结构】 证明题 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是方程组 $A x=0$ 的基础解系，试证： $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3$ 也是方程组 $A x=0$ 的基础解系．

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