【29959】 【 新文道线性代数讲义第六讲 二次型】 单选题 例 5 设 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则矩阵 $A$ 与 $B \quad(\quad)$

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【29958】 【 新文道线性代数讲义第六讲 二次型】 解答题 用配方法化下列二次型为标准形 （1）$f x_1, x_2, x_3=x_1^2+2 x_2^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ ； （2）$f x_1, x_2, x_3=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$ ．

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【29957】 【 新文道线性代数讲义第六讲 二次型】 解答题 设二次型 $f x_1, x_2, x_3=x^T A x=a x_1{ }^2+2 x_2{ }^2-2 x_3{ }^2+2 b x_1 x_3, b>0$ ，其中 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 。 （1）求 $a, b$ 的值； （2）用正交变换化 $f x_1, x_2, x_3= x ^T A x$ 为标准形．

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【29956】 【 新文道线性代数讲义第六讲 二次型】 解答题 用正交变换法化二次型 $f x_1, x_2, x_3=2 x_1{ }^2+5 x_2{ }^2+5 x_3{ }^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 为标准形．

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【29955】 【 新文道线性代数讲义第六讲 二次型】 填空题 写出三元二次型 $f x_1, x_2, x_3=2 x_1{ }^2+2 x_2{ }^2+2 x_3{ }^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 的二次型矩阵 $A$ ，并求 $r A$ ．

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【29954】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 解答题 设三阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量 $\alpha_1=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & -1\end{array}\right]^T, \alpha_2=\left[\begin{array}{lll}0 & -1 & 1\end{array}\right]^T$都是齐次线性方程组 $A x =0$ 的解．求： （1） $A$ 的特征值和特征向量； （2）作正交阵 $Q$ 和对角阵 $\Lambda$ ，使得 $Q ^T A Q = \Lambda$ ．

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【29953】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 解答题 设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right]$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = \Lambda$ ．

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【29952】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 解答题 设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的三维列向量，且满足： $$ A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3 $$ （1）求矩阵 $B$ ，使得 $A\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]=\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right] B$ ； （2）求矩阵 $A$ 的特征向量； （3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ ．

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【29951】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 解答题 判断矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 4\end{array}\right]$ 可否对角化，若能够对角化，求出可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角阵．

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【29950】 【 新文道线性代数讲义第五讲 特征值与特征向量】 单选题 设矩阵 $H =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $H$ 相似的矩阵是（ ）。

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