一、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{lc}
0, & x \leq 0 \\
\frac{x}{4}, & 0 < x \leq 4 \text {, 求 } E \xi, D \xi . \\
1, & x>4
\end{array}\right.
$$
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=A+B \arctan x,-\infty < x < +\infty .
$$
求: (1) 常数 $A, B$ ；
(2) $X$ 落入 $(-1,1)$ 的概率；
(3) $X$ 的密度函数 $f(X)$.
某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果命中 了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽. 求:
(1) 耗用子弹数 $X$ 的分布律;
(2) $\boldsymbol{E X}$;
(3) $D X$.
设 $(\xi, \eta)$ 的联合密度为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} ，\right.
$$
求: (1) 边际密度函数 $p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ ；
(2) $E \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$;
(3) $\xi$ 与 $\eta$ 是否独立.
设 $X_1, X_2$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的样本，下列三个估 计量是不是参数 $\mu$ 的无偏估计量，若是无偏估计量，试判断 哪一个较优?
$$
\begin{gathered}
\hat{\mu_1}=\frac{2}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2, \hat{\mu}_1=\frac{1}{4} X_1+\frac{3}{4} X_2, \\
\hat{\mu}_1=\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2 .
\end{gathered}
$$
设 $\xi \sim f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}(\theta>0)\right.$ ， $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 为 $\xi$ 的一组观察值，求 $\theta$ 的极大似然估计