单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 是两事件，且 $0 < P(A) < 1$ ，则下面结论中错误的是
$\text{A.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
$\text{B.}$ $P(B)=P(B \mid A)+P(B \mid \bar{A})$
$\text{C.}$ $P(A-B)=P(A)-P(A B)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(\bar{A} B)$
设 $P(\bar{A})=0.6, P(\bar{A} B)=0.1, P(B)=0.5$ ，则 $P(A \cup B)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0.9
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 0.5
设 $X$ 与 $Y$ 为两个独立的随机变量，则下列选项中不一定成立的是
$\text{A.}$ $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ；
$\text{B.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$ ；
$\text{C.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ ；
$\text{D.}$ $D(X Y)=D(X) D(Y)$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其概率分布分别为
$\text{A.}$ $P(X=Y)=1$
$\text{B.}$ $P(X=Y)=0.48$
$\text{C.}$ $P(X=Y)=0.52$
$\text{D.}$ $P(X=Y)=0.5$
下列各函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $G_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty < x < +\infty$ ；
$\text{B.}$ $G_2(x)=\sin x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ；
$\text{C.}$ $G_3(x)= \begin{cases}\frac{1}{1+x}, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0 ;\end{cases}$
$\text{D.}$ $G_4(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ 0.6, & x=0, \\ 1, & x>0 .\end{cases}$
设 $B \subset A$ ，则下面正确的等式是
$\text{A.}$ $P(\overline{A B})=1-P(A)$ ；
$\text{B.}$ $P(\bar{B}-\bar{A})=P(\bar{B})-P(\bar{A})$ ；
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$ ；
$\text{D.}$ $P(A \mid \bar{B})=P(A)$
离散型随机变量 $X$ 的概率分布为 $P(X=k)=A \lambda^k(k=1,2, \cdots)$ 的充要条件是
$\text{A.}$ $\lambda=(1+A)^{-1}$ 且 $A>0$ ；
$\text{B.}$ $A=1-\lambda$ 且 $0 < \lambda < 1$ ；
$\text{C.}$ $A=\lambda^{-1}-1$ 且 $\lambda < 1$ ；
$\text{D.}$ $A>0$ 且 $0 < \lambda < 1$
设 10 个电子管的寿命 $X_i(i=1 \sim 10)$ 独立同分布，且 $D\left(X_i\right)=A(i=1 \sim 10)$ ，则 10 个电子管的平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)=$
$\text{A.}$ $A$ ；
$\text{B.}$ $0.1 A$ ；
$\text{C.}$ $0.2 A$ ；
$\text{D.}$ $10 A$ ．
随机事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件为
$\text{A.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$ ；
$\text{B.}$ $A \cup B=\Omega$ ；
$\text{C.}$ $P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)$ ；
$\text{D.}$ $A B=\Phi$ ．
设 随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ 概率密度为 $f(x)$ ，那么 $P\{X=a\}$ 的值为
$\text{A.}$ $F(a)$ ；
$\text{B.}$ $f(a)$ ；
$\text{C.}$ 0 ；
$\text{D.}$ $F(a-0)$ ．
设离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为
那么有
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 不独立；
$\text{B.}$ $X$ 与 $Y$ 独立；
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关；
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$ 不独立但不相关．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_9\right)$ 是从正态总体 $X \sim N\left(1,3^2\right)$ 中抽取的一个样本， $\bar{X}$ 表示样本均值，那么有
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}-1}{3} \sim N(0,1)$ ；
$\text{B.}$ $\bar{X}-1 \sim N(0,1)$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-1}{9} \sim N(0,1)$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$ ．
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
每次试验中 $A$ 出现的概率为 $p$ ，在三次独立试验中 $A$ 出现至少一次的概率为 $\frac{19}{27}$ ，则 $p=$
设 $X$与$Y$ 相互独立，且 $D(X)=3, D(Y)=2$ ，则 $D(2 X-Y)=$
设 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}A\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right), & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0\end{array}\right.$ ，则常数 $A=$
设 $D(X)=4, D(Y)=9, \rho_{X Y}=0.25$ ，则 $D(5 X-Y+15)=$
设 $K \sim U(0,5)$ ，则方程 $4 x^2+4 K x+K+2=0$ 有实根的概率为
设 $X \sim \chi^2(2), Y \sim \chi^2(4)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim$
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是来自正态分布 $N(0,1)$ 的样本，$Y=\left(\sum_{i=1}^3 X_i\right)^2+\left(\sum_{i=4}^6 X_i\right)^2$当 $c=$ $\_\_\_\_$时，$c Y$ 服从 $\chi^2$ 分布，$E\left(\chi^2\right)=$
设 $K \sim U(0,5)$ ，则方程 $4 x^2+4 K x+K+2=0$ 有实根的概率为
设 $X \sim \chi^2(2), Y \sim \chi^2(4)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim$
一射手对同一目标独立地进行射击，直到射中目标为止，每次命中率为 $\frac{3}{5}$ ，那么射击次数的数学期望为
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为
那么常数 $a$ 与 $b$ 应满足的条件是 ()
假设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，那么 $a=()$ ，$b=()$
设随机向量 $(X, Y) \sim N\left(-1,2 ; 1,4 ; \frac{1}{2}\right)$ ，且随机变量 $Z=X-2 Y+7$ ，那么 $Z \sim$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
k \mathrm{e}^{-(3 x+4 y)}, & x>0, y>0 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array},\right.
$$
（1）求常数 $k$ ；
（2）$P(0 < X \leqslant 1,0 < Y \leqslant 2)$ ；
（3）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)$ ．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x < 1 \\ \ln x, & 1 \leqslant x < \mathrm{e} \\ 1, & x \geqslant \mathrm{e}\end{cases}
$$
求（1）$X$ 的概率密度函数 $f(x)$ ；（2）$P(0 < X < 2.5)$ ；（3）期望 $E(X)$ ．
二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率分布为：
求：（1）$X$ 的概率分布；（2）相关系数 $\rho_{X Y}$ ；（3）判定 $X, Y$ 是否独立．
假设目标出现在射程之内的概率为 $\mathbf{0 . 7}$ ，这时射击命中目标的概率为 $\mathbf{0 . 6}$ ．如果目标一旦进入射程内将连续对其进行射击．试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率。
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、 7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。
（1）求先抽到的一份是女生表的概率 $p$ ；
（2）已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 $q$ ．
桥式电路系统由5个元件组成（如图所示），设元件 $A_i$ 的可靠性为 $p_i(i=1,2, ..., 5)$ ，求此系统的可靠性．
某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8 ，活到 25 岁以上的概率为 0.4 ，如果现在有一个 20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
k \mathrm{e}^{-(3 x+4 y)}, & x>0, y>0 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right. \text {, }
$$
（1）求常数 $k$ ；
（2）$P(0 < X \leqslant 1,0 < Y \leqslant 2)$ ；
（3）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率分布为：
求：（1）$X$ 的概率分布；（2）相关系数 $\rho_{X Y}$ ；（3）判定 $X, Y$ 是否独立．