单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列行列式中等于零的是
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & -7 & -6\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right|$
若 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & x \\ 4 & 9 & x^2\end{array}\right|=0$ ，则 $x=()$ 。
$\text{A.}$ 2 或 -3
$\text{B.}$ 2 或 3
$\text{C.}$ -2 或 3
$\text{D.}$ -2 或 -3
已知 $\boldsymbol{n}$ 阶行列式 $|A|=2, m$ 阶行列式 $|B|=-2$ ，则行列式 $\left|\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right|$ 的值为 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
若 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right\rvert\,=6$ ，则 $\left|\begin{array}{ccc}a_{12} & 2 a_{11} & 0 \\ a_{22} & 2 a_{21} & 0 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right|$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ 12 ；
$\text{B.}$ -12 ；
$\text{C.}$ 18 ；
$\text{D.}$ 0.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $|2 A|=$
$\text{A.}$ $2^n$
$\text{B.}$ $2^{n+1}$
$\text{C.}$ $2^{n-1}$
$\text{D.}$ 2
设行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=3 \quad$ 则 $\left|\begin{array}{ll}2 a_{11} & 3 a_{12} \\ 2 a_{21} & 3 a_{22}\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 27
四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4\end{array}\right|$ 的值等于
$\text{A.}$ $a_1 a_2 a_3 a_4-b_1 b_2 b_3 b_4$ ．
$\text{B.}$ $a_1 a_2 a_3 a_4+b_1 b_2 b_3 b_4$ ．
$\text{C.}$ $\left(a_1 a_2-b_1 b_2\right)\left(a_3 a_4-b_3 b_4\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(a_2 a_3-b_2 b_3\right)\left(a_1 a_4-b_1 b_4\right)$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$ ．
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$ ．
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$ ．
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & b_1 & 0 & 0 \\
-1 & 1-b_1 & b_2 & 0 \\
0 & -1 & 1-b_2 & b_3 \\
0 & 0 & -1 & 1-b_3
\end{array}\right|=$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 6\end{array}\right|=$
如果行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=2$ ，则
$$
\left|\begin{array}{lll}
-2 a_{11} & -2 a_{12} & -2 a_{13} \\
-2 a_{21} & -2 a_{22} & -2 a_{23} \\
-2 a_{31} & -2 a_{32} & -2 a_{33}
\end{array}\right|=
$$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & n\end{array}\right|$ 的值。
若行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -2 & -2\end{array}\right|$ ，求 $M_{21}+M_{22}+M_{23}+M_{24}$ ，其中 $M_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的余子式。