单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)=3 x^2-\int_0^1 f(t) d t$ ，则 $f(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $3 x^2-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $3 x^2-1$
$\text{D.}$ $3 x^2-2$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有（）．
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ $N < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < N$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $a>0$ ，则 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4} a^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} \pi a^2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
定积分 $\int_{-1}^1(|x|+\sin x) x^{10} d x$ 的值为
$\int_{-2}^2\left(\frac{x}{1+x^2}+|x|\right) d x=$
$\int_{-1}^1 x^3 \cos x d x=$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
(1) $\int x \sin x^2 d x$;
(2) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$;
(3) $\int \frac{\ln ^2 x}{x} d x$;
(4) $\int x \sqrt{1-x^2} d x$;
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
证明定积分公式：
$$
\begin{gathered}
I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x\left(=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x d x\right) \\
=\left\{\begin{array}{l}
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, n \text { 为正偶数, } \\
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, n \text { 为大于 } 1 \text { 的正奇数. }
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos ^4 \theta d \theta$ ．
$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2 y^2} d y$;
$\int_0^a x^2 \sqrt{a^2-x^2} d x$;
$\int_0^\pi \sqrt{1+\cos 2 x} d x$.
设 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1+x^2, x < 0 ; \\
e^{-x}, x \geq 0 \text { ．}
\end{array}\right. $
求 $ \int_1^3 f(x-2) d x$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+x^2 & x \leq 0 \\ e^{-x} & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) d x$ ．
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x$
$\int_1^{e^2} x^2 \ln x d x$
计算定积分 $\int_0^5 \frac{x+1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x$
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$