单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
若规定幅角主值 $\arg z \in[0,2 \pi)$ ，则 $\arg \left[(\sqrt{3}+i)^{-3}\right]$ 为（） ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
复数 $z=-3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$ 的三角表示式为
$\text{A.}$ $\quad 3\left(\cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{B.}$ $\quad 3\left(\cos \frac{\pi}{5}-i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
$\text{C.}$ $\quad 3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{D.}$ $\quad 3\left(\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
复数 $z=-3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$ 的三角表示式为 ）．
$\text{A.}$ $3\left(\cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{B.}$ $3\left(\cos \frac{\pi}{5}-i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
$\text{C.}$ $3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{D.}$ $3\left(\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
设 $D$ 为复平面除去上半虚轴的割缝区域，$W=\sqrt{z}$ 为该区域上的单值分支，且 $W(-1)=-i$ ，则 $w(-i)$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$
以下结论正确的选项是
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析；
$\text{B.}$ 如果 $f(z)$ 在 C 所围成的区域解析，那么 $\oint_C f(z) d z=0$
$\text{C.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，那么函数 $f(z)$ 在 C 所围成的区域一定解析；
$\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域解析的充分必要条件是 $u(x, y) 、 v(x, y)$ 在该区域均为调和函数．
$x^2-y^2$ 是解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的实部，那么
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=2(x+i y)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=2(x-i y)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=2(y+i x)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=2(y-i x)$
以下结论不正确的选项是
$\text{A.}$ $\ln \mathrm{z}$ 是复平面上的多值函数；
$\text{B.}$ cosz 是无界函数；
$\text{C.}$ $\sin z$ 是复平面上的有界函数；
$\text{D.}$ $e^z$ 是周期函数．
判断题 （共 4 题 ）
$\sin \frac{\pi}{3}-i \cos \frac{\pi}{3}$ 的三角表示为 $\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若互不相同的复数 $Z_1, Z_2, Z_3$ 满足 $Z_1+Z_2+Z_3=0$ ，则它们一定为正三角形的三个顶点．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
曲线 $C: z(t)=\left(t^2+1\right)+i t^3(-1 \leq t \leq 1)$ 为光滑闭曲线
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
点集 $E=\{z|z \in C , 1 < |z| \leq 2\}$ 的边界为圆周 $\{z|z \in C ,|z|=2\}$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(z)=\left(x^2+2 x y\right)+i\left(1-\sin \left(x^2+y^2\right), \forall z=x+i y \in C\right.$ ，则 $\lim _{z \rightarrow 1+i} f(z)=$
设 $z=-3-2 i$ ，则 $z$ 的三角形式为 $\qquad$ ，$z$ 的指数形式为 $\qquad$ ．
将复数 $1-\cos \theta+i \sin \theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 化为三角表示式和指数表示式
设 $f(z)$ 是函数 $W=\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{|z|} e^{\frac{i}{5}(\arg z+2 k \pi)}(k=0,1,2,3,4)$ 在沿正实轴割开的割缝区域的一个单值分支，若 $f(-i)=e^{i \frac{7 \pi}{10}}$ ，则 $k$ 的值为 $\qquad$ ．
下列函数是否连续
$ f(z)=\frac{z^2-(\alpha+\beta) z+\alpha \beta}{z-\alpha}, f(\alpha)=\alpha-\beta$
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在复平面上取上半虚轴作割线．试在所得的区域内取定函数 $\sqrt{z}$在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 $z=i$ 处的值．
判断 $f(z)= \begin{cases}\frac{\operatorname{Re}\left(z^2\right)}{\left|z^2\right|}, & z \neq 0 \\ 0, & z=0\end{cases}$ 的连续性
求极限$ \lim _{z \rightarrow 0}\left(\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right) \text {. }$
计算 $\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10}$ 的值．
计算$\operatorname{Ln}(5+12 i)$ 和 $i^i$ 的值
下列极限是否存在？若存在试确定其极限值
$ \lim _{z \rightarrow \alpha} \frac{z^2-(\alpha+\beta) z+\alpha \beta}{z-\alpha} $
设 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数，求 $a, b, c, d$
计算 $\oint_C \frac{e^z}{(z-1)^2 z} \mathrm{~d} z$ 其中 C 是正向圆周：
求 $a, b, c, d$ 使 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数
设 $f(z)=m y^3+n x^2 y+\mathrm{i}\left(l x^3-3 x y^2\right)$ 为解析函数，试确定 $m, n, l$的值．
证明函数 $w=x^2-y^2-y+\mathrm{i}(2 x y+x)$ 在 $z$ 平面上解析，并求其导函数．
设函数 $f(z)=a \ln \left(x^2+y^2\right)+\mathrm{i} \arctan \frac{y}{x}$ 在 $\operatorname{Re} z=x>0$ 时解析，试确定 $a$ 的值．
试利用极坐标形式的 C－R 方程，证明
$$
f^{\prime}(z)=\frac{r}{z}\left(\frac{\partial u}{\partial r}+\mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial r}\right)
$$
计算下列函数值：
（1） $\exp \left\{\frac{2-\pi i}{3}\right\}$ ；
（2）$\left|\exp \left\{4-\mathrm{i} \frac{\pi}{2}\right\}\right|$ ；
（3） $\operatorname{Re}\left(\mathrm{e}^{k \pi \mathrm{i}}\right)$ ．
求出下列复数的辐角主值：
（1） $\mathrm{e}^{2-\mathrm{i}}$ ；
（2） $\mathrm{e}^{3+4 \mathrm{i}}$ ；
计算下列函数值：
（1）Lni；
（2） $\operatorname{Ln}(2-\mathrm{i} \sqrt{2})$ ；
计算下列函数值：
（1） $3^i$ ；
（2）$(1+\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$ ；
已知 $v(x, y)=-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2} y^2$ ．求函数 $u(x, y)$ 使函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 为解析函数．且 $f(0)=0$
就书中内容．函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种