单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为（ ）
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求不定积分 $\int \frac{\arccos 3 x}{\sqrt{1-9 x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 33 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int 2 x \sin x^2 d x$ ；
$\int \frac{1}{1+e^{-x}} d x$ ；
$\int \frac{\sec ^2 x+\csc ^2 x}{(\tan x-\cot x)^2} d x$ ；
$\int \sec ^4 x \tan ^2 x d x$;
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） $0 < |z-1| < 1$ ，
（2） $0 < |z| < 1$ ，
（3） $1 < |z| < \infty$
求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$
在指定区域展开成洛朗级数：
（1）$f(z)=\frac{1}{z(1-z)^2}, \quad 0 < |z-1| < 1 ; \quad 1 < |z-1| < +\infty$
（2）$f(z)=\frac{\ln (1-z)}{z^2}, \quad 0 < \mid z < 1$
$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x} d x$
计算不定积分 $\int \frac{2 x+1}{x^2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ．
求方程 $x^2 y^{\prime}+x y=y$ 满足初始条件 $y\left(\frac{1}{2}\right)=4$ 的特解．
计算定积分 $\int_0^5 \frac{x+1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x$
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$
$\int_0^2 x^2 \arctan (x-1) \mathrm{d} x$
计算曲线积分 $\oint_L \frac{x y \mathrm{~d} x+\left(y^2+x\right) \mathrm{d} y}{x^2+y^2+1}$ ，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=1$ ，方向顺时针．
求不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}$ ．
计算 $\int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$ ．
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$ ．
$ \int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$
求不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$ ．
求 $\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)} \mathrm{d} x$ ．
$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^n x}{\sin ^n x+\cos ^n x} \mathrm{~d} x=$
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
$\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right) \mathrm{d} x$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x}$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2+4 x}}$
$f(u, v)$ 具有连续的偏导数，若 $z=f\left(x^2-y z, x-2 y\right)$ 确定了可微函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ； $\frac{\partial z}{\partial y}$
$f(x, y) \in C^2, z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ．
（1）求偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ 确定了函数 $y=y(x, z)$ ，求全微分 $\mathrm{d} y$ ．
求函数 $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$ 在点 $M(x, y, z)$ 处沿该点向径 $\vec{r}=\overrightarrow{O M}$ 方向的方向导数，若对所有的点 $M$ 均有 $\left.\frac{\partial u}{\partial r}\right|_M=|\nabla u(M)|$ ，问 $a, b, c$ 之间有何关系？