单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4 , 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$,则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=x^3$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小；
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 低阶无穷小。
设 $\int f(x) \sin x d x=\sin x+C$ ，则 $\int f(x) \tan x d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\tan x+C$
$\text{B.}$ $\cot x+C$
$\text{C.}$ $\ln |\sec x|+C$
$\text{D.}$ $x+C$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续，但不可导
$\text{B.}$ 间断
$\text{C.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0) = 3$，则当$x$趋于$x_0$时，$f(x)$的线性近似为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}=$
设函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 $\_\_\_\_$间断点
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$ y=(\sin x)^{\cos x}$ ，求 $y^{\prime}$ ．
$\int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} d x$
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在交点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线,
(1) 求常数 $a$ 及 $x_0$;
(2) 求两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $A$;
(3) 写出 (2) 中所述平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 的定积分计算公式 (不必计算结果)。
