单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^x+a x^2+b x\right)^{\frac{1}{2}}=1$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
已知 $f(x), g(x)$ 二阶可导且在 $x=a$ 处连续，则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0$ 是两条曲线 $y=f(x), y=g(x)$ 在 $x=a$ 对应的点相切且曲率相等的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 充分必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y, x y \neq 0 \\ x, y=0 \\ y, x=0\end{array}\right.$ 给出下列结论
(1) $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$
(2) $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$
(3) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$
(4) $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_5^{+\infty} \frac{1}{x^2-4 x+3} \mathrm{~d} x=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$.
已知曲线 $L: y=\frac{4}{9} x^2(x \geq 0)$ 和点 $O(0,0)$ ，点 $A(0,1)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点， $S$ 是直线 $O A$ 与直线 $A P$ 及曲线 $L$ 所围成图形的面积，若 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 4 ，求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 规范形.
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值.
求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^2\left(x^2+x+1\right)} \mathrm{d} x$.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \| x \mid \leq y,\left(x^2+y^2\right)^3 \leq y^4\right\}$ ，求 $\iint_D \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $n$ 是正整数，记 $S_n$ 是 $y=e^{-x} \sin x(0 \leq x \leq n \pi)$ 的图形与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_n$ ，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
已知向量组
(I) $\alpha_1=(1,1,4)^T, \alpha_2=(1,0,4)^T, \alpha_3=\left(1,2, a^2+3\right)^T$,
(II) $\beta_1=(1,1, a+3)^T, \beta_2=(0,2,1-a)^T, \beta_3=\left(1,3, a^2+3\right)^T$,
若向量组(I)和向量组(II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似.
(1)求 $x, y$ ；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$.
设 $f(x)$ 连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t
$$
求 $g^{\prime}(x)$ 且证明 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 由 $x=1, x=2, y=x$ 及 $x$ 轴围成.
已知 $f(x)=\int_1^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$.
(I) 证明: $\exists \xi \in(1,2)$ ，使得 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^2}$ ；
(ㅍ) 证明: $\exists \eta \in(1,2)$ ，使得 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta \cdot e^{\eta^2}$.
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0$. 曲线 $y=f(x)(x \geq 0)$ 经过坐标原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $T$ ，过点 $M$ 做 $M P$ 垂直于 $x$ 轴于点 $P$ ，且曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M P$ 以及 $x$ 轴所围成图形的面积与三角形 $M T P$ 的面积比恒为 $3: 2$ ，求满足上述条件曲线方程.
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3
$$
经过可逆线性变换 $x=P y$ 变换为
$$
g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2
$$
(I) 求 $a$ 的值；
(II) 求可逆矩阵 $P$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量. (I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； (I) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.