单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$.
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在.
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+|y|}=1$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 取极大值.
$\text{B.}$ 取极小值.
$\text{C.}$ 不取极值.
$\text{D.}$ 无法确定.
已知函数 $f(u)$ 可导且 $f^{\prime}(0)=2$, 设 $z=f\left(\arctan \frac{x}{y}\right)$, 则 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}$ 与 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,2)}$ 的值依次为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 1,0.
$\text{D.}$ 2,0 .
$\text{E.}$ $1,-1$.
已知函数 $f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x y}$, 则 $x \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3 .
$\text{E.}$ 4
2．已知函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{11}^{\prime \prime}\left(f_2^{\prime}\right)^2-2 f_{12}^{\prime \prime} f_1^{\prime} f_2^{\prime}+\left(f_1^{\prime}\right)^2 f_{22}^{\prime \prime}=-\left(f_1^{\prime}\right)^3$ ，其中 $f_1^{\prime} \neq 0$ ，方程 $z=f(x, y)$ 确定隐函数 $x=x(y, z)$ ，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial y^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y^3}{x^2+y^6}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不存在偏导数．
$\text{B.}$ 不连续．
$\text{C.}$ 可微．
$\text{D.}$ 连续但是不可微．
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=\arctan (x y)$, 则 $d z=$
设 $z=e^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 求 $z_x^{\prime}, z_{x y}^{\prime \prime}\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$.
求 $u=x \sin (x+y)$ 的一阶及二阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ 。
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$, 其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z+x y z=0$ 确定的隐函数, 则$f_x(0,1,-1)=$
设 $u=f(x, y, z)=e^{x+2 y+3 z}, z=x^2 \cos y$, 则 $\frac{\partial u}{\partial y}=$
求函数的一阶偏导数： $z=x^{\ln y}$;
求函数的一阶偏导数 $u=f(x, x y, x y z), z=\varphi(x, y)$;
设函数 $z=x f\left(x y+\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $x-m z=\varphi(y-n z)$, 求证 $m \frac{\partial z}{\partial x}+n \frac{\partial z}{\partial y}=1$.
设 $z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=u^2 \ln v$, 而 $u=\frac{x}{y}, v=3 x-2 y$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设函数 $z=f(x, y)$ 由方程 $x+z=e^{z-y}$ 所确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
设 $z=(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $x=e^x \cos v, y=e^x \sin v, z=u v$, 试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$.
已知 $f(x, y)=\frac{2 x+3 y}{1+x y \sqrt{x^2+y^2}}$ ，求 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $f(x, y)=x+2 y+(y-1) \arcsin \frac{x}{1+x y}$ ，求 $f_x(0,1), f_y(0,1)$ ．
设 $z=\left(x^2+y^2\right) e ^{-\arctan \frac{y}{x}}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $d z$
设 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right), y=\varphi(x), f$ 可求偏导，$\varphi$ 可导，求 $\frac{ d z}{d x}$ ．
设 $z=\int_0^{\frac{y}{x}} \sin \left(t^2\right) d t$ ，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=f(x y, x+y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $f(x, y)=x^2+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{y}{x}}$ ，求 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,1)}$ ．
设 $z=f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
已知 $f(x, y)=\ln \left(2 e^x+e^y\right), \vec{l}=(1,2)$ ，求 $\left. d f\right|_{(0,0)}$ 与 $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(0,0)}$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2-2 z=f\left(y^2-2 z\right)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 可微，求证 $y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial y}=x y$ 。
设函数 $f(x, y)=e^y \sin \pi y+(x-1) \arctan \sqrt{\frac{y}{x}}$ 在 $(1,1)$ 处的偏导数．
设 $f(x, y)=x y+x^2+y^3$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ ，并求 $f_x{ }^{\prime}(0,1), f_y{ }^{\prime}(2,0)$ ．