单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x)$ 与 $x$ 比较是 ( ).
$\text{A.}$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 同阶的无穷小
$\text{D.}$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, 则 $x=3$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
设 $f(x)=\cos x(x+|\sin x|)$, 则在 $x=0$ 处有 $($ ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=2$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(x)$ 不可导.
$f(x)$ 在 $x_0$ 点可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点
$\text{A.}$ 可能连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 连续
$\text{D.}$ 以上都不对
设 $f(x)=\frac{(x+1) \sin (x-1)}{x(x-1)^2}$, 则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 ( ).
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 可去间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
下列命题中正确的是（）
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x \sin x}=-2$,则在 $x=0$ 处 $f(x) $
$\text{A.}$ 不可导.
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 取极大值.
$\text{D.}$ 取极小值.
已知 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 的原函数是 ( )。
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
设 $b, k$ 为常数, 则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+b, x < 1 \\ \sqrt{1+x^2}, x \geq 1\end{array}\right.$, 可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $k=0, b=\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $k=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{C.}$ $k=\sqrt{2}, b=0$.
$\text{D.}$ $k=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{E.}$ $k+b=\sqrt{2}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义, 在开区间 $(a, b)$ 内可导, 则
$\text{A.}$ 当 $f(a) f(b) < 0$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f(\xi)=0$.
$\text{B.}$ 当 $f(a)=f(b)$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f(\xi)=0$.
$\text{E.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$d \underline{}=\cos t d t$;
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $y=f\left(\sin ^2 x\right)+f\left(\cos ^2 x\right)$, 则 $\frac{d y}{d x}=$
$y=\cos x$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left. d y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right)$;
设 $y=\cos (\ln x)$, 求 $y^{\prime \prime}$;
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{1}{x}}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$
设函数 $y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，求 $\left.d y\right|_{x=0}$ 。
$\int \sqrt{x} \ln ^2 x d x$
$\int \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} d x$