单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \mathrm{e}^{x^4}+\cos x\right) \mathrm{d} x=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left( e ^x+x\right)^{\frac{1}{x}}$;
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
解答题 （共 32 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性; 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
计算 $I=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y$.
经过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线,该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D. 求：（1）D 的面积; (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$, 试证存在 $\xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)+\xi^{\prime}(\xi)=0$.
设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdot \cdots \cdot(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdot \cdots \cdot(x+n)}$, 求 $f^{\prime}(1)$.
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x>1\end{cases}
$$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导, $a, b$ 应取什么值?
求导
(1) $y=\sqrt{a^2-x^2} $
(2) $y=(\arcsin x)^2$;
(3)$y=\ln \cos x$
求导
(1)$ y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
(2)$ y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$
求导
(1) $y=\sin ^n x \cos n x$;
(2) $y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$;
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
求隐函数导数 $x y=\mathrm{e}^{x+y}$;
设曲线 $C$ 的方程为 $x^2 y-x y^2=2$, 试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
讨论函数$f(x)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}$在 $x=0$ 处的连续性与可导性。
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^t \\ y=\mathrm{e}^{-t}\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 相应的点处的切线方程及法线方程.
设 $a>b>0$, 证明:
$$
\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b} .
$$
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在, 但不能用洛必达法则得出.
求 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $(x-4)$ 的幕展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式.
试问 $a$ 为何值时, 函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值? 它是极大值还是极小值? 并求此极值.
描绘 $y=\mathrm{e}^{-(x-1)^2}$的凸凹点
求椭圆 $4 x^2+y^2=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率.
设 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$, 证明多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点.
计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
试确定常数 C 之值, 使得曲线 $y=x+C x^2$ 与直线 $x=1, x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b x f(x) d x=0$,求证: $\exists \xi, \eta \in(a, b),(\xi \neq \eta)$, 使得 $f(\xi)=0, f(\eta)=0$.
设 $f(x)=[\varphi(x)-\varphi(0)] \ln (1+2 x), g(x)=\int_0^x \frac{t}{1+t^3} d t$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $\varphi^{\prime}(0)=1$, 证明: $f(x)$ 与 $g(x)$ 为 $x \rightarrow 0$ 时的同阶无穷小。
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) d t}{(x-1)^3}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{x^2} \ln \sqrt[3]{1+t} d t}{\left[\left(1+2 x^2\right)^x-1\right] \sin ^2 \sqrt{x}}$