单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则下列级数绝对收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n^2}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^n$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 d t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$.
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| d x=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$ ，则 $d f(1,1)=$
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) d x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设 $\Sigma$ 为由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^2+2 y^2=33, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面, $\Pi$ 为曲面 $\Sigma$ 在点 $M(1,3,2)$ 处的切平面, 则坐标原点到平面 $I I$ 的距离为
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,4)$, 随机变量 $Y$ 服从参数 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\operatorname{Cov}(X, Y)=-1$.令 $Z=X-a Y$, 若 $\operatorname{Cov}(X, Z)=\operatorname{Cov}(Y, Z)$, 则常数 $a$ 的值为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $0 < x_1 < \frac{\pi}{4}$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 由方程 $x_n x_{n+1}=\left(\tan x_{n+1}\right)^2$ 确定, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$存在, 并求之.
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] d \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) d x=0$, 且对任意的 $x \in(0,1)$, $\int_0^x f(t) d t \neq 0$, 证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=\int_0^x f(t) d t$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) d t}{(x-1)^3}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) d t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^2+2 n-1}$ 在收敛区间内的和函数.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $C$,使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $x = C y$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $B$, 求正交矩阵 $Q$, 使得 $Q ^{ T }\left( C ^{ T } B C \right) Q$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $T$, 使得在合同变换 $x = T y$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形。
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 在 $(-x, x)$ 上服从均匀分布.
(1) 求 $P\left\{\left.\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \right\rvert\, Y=E(Y)\right\}$;
(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性，并给出理由；
(3) 令随机变量 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$.