单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(1,0)$ 与沿 $(-1,0)$ 的方向导数均存在, 则偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$存在.
$\text{B.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 存在,则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(-1,0)$ 的方向导数等于 $-f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$.
$\text{C.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在。
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的偏导数均存在.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^k-2^k\right)\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i+j}{i^2+j^2}$解
求极限$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\int_1^{\frac{1}{n}} e^{x^2} d x+\int_1^{\frac{2}{n}} e^{x^2} d x+\cdots+\int_1^{\frac{n-1}{n}} e^{x^2} d x\right] $
求极限$I= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{(n+i+1)^2}+\frac{1}{(n+i+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+i+i)^2}\right)$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数。
已知 $p_1, p_2, q$ 为正常数, $\alpha \in(0,1)$, 求二元函数 $f(x, y)=p_1 x+p_2 y$ 在约束条件 $x^\alpha y^{1-\alpha}=q$ 下的条件极值.
若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明:
$$
\frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x} .
$$