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试卷嘎嘎嘎具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )

A.

若

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿

(1, 0)

与沿

(- 1, 0)

的方向导数均存在, 则偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在.

B.

若偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

存在,则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿

(- 1, 0)

的方向导数等于

- f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

C.

若偏导数

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

均存在, 则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿任意方向的方向导数均存在。

D.

若

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿任意方向的方向导数均存在, 则

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处的偏导数均存在.

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6^{k}}{(3^{k} - 2^{k}) (3^{k + 1} - 2^{k + 1})} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 求极限:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{i + j}{i^{2} + j^{2}}

解

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4. 求极限

I = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} [\int_{1}^{\frac{1}{n}} e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{\frac{2}{n}} e^{x^{2}} d x + \dots + \int_{1}^{\frac{n - 1}{n}} e^{x^{2}} d x]

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5. 求极限

I = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{(n + i + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + i + 2)^{2}} + \dots + \frac{1}{(n + i + i)^{2}})

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6. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n - 1}

的收敛域, 并求其和函数。

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7. 已知

p_{1}, p_{2}, q

为正常数,

α \in (0, 1)

, 求二元函数

f (x, y) = p_{1} x + p_{2} y

在约束条件

x^{α} y^{1 - α} = q

下的条件极值.

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8. 若

f (x)

为

[0, 1]

上的单调增加的连续函数, 证明:

\frac{\int_{0}^{1} x f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} x f^{2} (x) d x} \geq \frac{\int_{0}^{1} f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x} .

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