一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $z=z(x, y)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=u e ^v, \\ y=u v,(u>0, v>1) \\ z=v\end{array}\right.$ 所确定, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{x y}{z(1-z)^3}$.
$\text{B.}$ $\frac{x y}{z(z-1)^3}$.
$\text{C.}$ $\frac{z}{x y(1-z)^3}$.
$\text{D.}$ $\frac{z}{x y(z-1)^3}$.
设 $f(t)=\int_t^{2 t} d x \int_x^t e ^{(x-y+1)^2} d y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{t^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{ e }{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{ e }{2}$.
$\text{C.}$ 2 e .
$\text{D.}$ -2 e .
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 则 " $| A | < 0$ " 是"存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$, 使得 $\alpha ^{ T } A \alpha < 0$ " 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充要条件.
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件.
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
$\int \frac{\sqrt{3+2 x-x^2}}{(x-1)^2} d x=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
三、解答题 （ 共 1 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
在 $\mathrm{R}^2$ 中, $\forall \alpha=\left(a_1, a_2\right), \beta=\left(b_1, b_2\right)$, 规定二元函数:
$$
(\alpha, \beta)=a_1 b_1-a_1 b_2-a_2 b_1+4 a_2 b_2
$$
(1) 证明: 这是 $\mathrm{R}^2$ 的一个内积。
(2) 求 $\mathbf{R}^2$ 的一个标准正交基。