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高等数学试题

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

z = z (x, y)

由

{\begin{cases} x = u e^{v}, \\ y = u v, (u > 0, v > 1) \\ z = v \end{cases}

所确定, 则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

A.

\frac{x y}{z (1 - z)^{3}}

B.

\frac{x y}{z (z - 1)^{3}}

C.

\frac{z}{x y (1 - z)^{3}}

D.

\frac{z}{x y (z - 1)^{3}}

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2. 设

f (t) = \int_{t}^{2 t} d x \int_{x}^{t} e^{(x - y + 1)^{2}} d y

, 则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{f (t)}{t^{2}} =

A.

\frac{e}{2}

B.

- \frac{e}{2}

C.

2 e .

D.

-2 e .

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3. 设

A

为

n

阶实对称矩阵, 则 "

| A | < 0

" 是"存在

n

维非零列向量

α

, 使得

α^{T} A α < 0

" 的

A.

充分非必要条件.

B.

必要非充分条件.

C.

充要条件.

D.

既非充分又非必要条件.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设

y = y (x)

满足

y^{''} + 2 y^{'} + y = e^{- x}, y (0) = y^{'} (0) = 1

, 则

\int_{0}^{+ \infty} x d y =

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\int \frac{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}{(x - 1)^{2}} d x =

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6. 设

y = y (x)

满足

y^{''} + 2 y^{'} + y = e^{- x}, y (0) = y^{'} (0) = 1

, 则

\int_{0}^{+ \infty} x d y =

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三、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 在

R^{2}

中,

\forall α = (a_{1}, a_{2}), β = (b_{1}, b_{2})

, 规定二元函数:

(α, β) = a_{1} b_{1} - a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} + 4 a_{2} b_{2}

(1) 证明: 这是

R^{2}

的一个内积。
(2) 求

R^{2}

的一个标准正交基。

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