一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$.
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, $f(0,0)=0, n=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}$ 且非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\boldsymbol{d} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$存在
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
计算曲线积分 $I=\int_L \frac{4 x-y}{4 x^2+y^2} d x+\frac{x+y}{4 x^2+y^2} d y$, 其中 $L$ 是 $x^2+y^2=2$, 方向为逆时针方向
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明（1）存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
（2）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.