一、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
确定参数 $\lambda$ 的值, 使得在不经过直线 $y=0$ 的区域上, 曲面积分 $I=\int_L \frac{x\left(x^2+y^2\right)^\lambda}{y} d x-\frac{x^2\left(x^2+y^2\right)^\lambda}{y^2} d y$ 与路径无关, 并求当 $L$ 为从 $A(1,1)$ 到 $B(0,2)$ 时 $I$的值.
求函数 $z=f(x, y)=x^2 y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6 、 x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$上的最大值和最小值.
计算 $\iint_{\Sigma} y^2 d y d z+z^2 d z d x+x^2 d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为旋转抛物面 $\mathrm{z}=x^2+y^2$ 被平面 $\mathrm{z}=1$所截得部分的外侧.
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime}=x+y$ ，且 $y(0)=1$ ，证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right]$ 绝对收敛。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 令 $\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2023}+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{2022}+\cdots+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^3+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^2+\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$, 求矩阵 $\boldsymbol{M}$;
（2）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{M P}=\boldsymbol{B}$.