一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A^* & O \\ A & B\end{array}\right)\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{D.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21}+2 a_{11} & a_{22}+2 a_{12} & a_{23}+2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵,若 $r(\boldsymbol{A})=n$, 给出以下四个结论:
(1) $\boldsymbol{A}$ 可以经过若干次初等行变换化为 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E}_n \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right)$;
(2) 存在 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}$;
(3) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵等价;
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 的矩阵是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
若实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ 合同, 则二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 , 求常数 $a$ 的取值范围.
设向量组 $\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(5,3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,3,-1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(-2,2,-3)^{\mathrm{T}} . A$ 是三阶矩阵, 且.
$$
A \alpha_1=\alpha_2, A \alpha_2=\alpha_3, A \alpha_3=\alpha_4 \text {, 则 } A \alpha_4=
$$
已知 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=0, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$.已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量.
(I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$;
(III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数.
记 $|A(t)|=\left|\begin{array}{cccc}x_1+t & x_1{ }^2+t & \cdots & x_1{ }^n+t \\ x_2+t & x_2{ }^2+t & \cdots & x_2{ }^n+t \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+t & x_n{ }^2+t & \cdots & x_n{ }^n+t\end{array}\right|$, 其中 $t$ 是参数，证明: $|A(t)|=|A(0)|+t \sum_{i, j=1}^n A_{i j}$. 其中 $A_{i j}$ 是 $x_{i j}$ 在 $|A(0)|$中的代数余子式.
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数. 计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x_1+1 & x_1{ }^2+1 & \cdots & x_1{ }^n+1 \\ x_2+1 & x_2{ }^2+1 & \cdots & x_2{ }^n+1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+1 & x_n{ }^2+1 & \cdots & x_n{ }^n+1\end{array}\right|$.
求矩阵 $H=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -b & & & \\ & 1 & -b & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -b \\ & & & & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵.
(1) 证明: 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 的秩等于矩阵
$A$ 非零特征值的个数，其中 $A$ 为实对称矩阵，且
$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T .
$$
(2) 化二次型 $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 为标准形，其中
$$
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+k \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 均为 4 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 有无穷多个解.
(I) 求 $k$ 的值;
(II) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 的通解.