一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设函数 $f(x)$ 连续, 满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 若 $\int_0^1 \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x=1$, 则 $\int_0^1 x \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x$ $= $
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ e
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2+x y}-\sqrt{2}}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为
已知函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ ?
函数 $z=x y+\ln y$ 在点 $(2,1)$ 处的梯度方向为?
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$ 是函数 $f(x, y)$ 的全微分, 其中 $f(0,0)=0$, 求 $f(x, y)$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的有限部分.
设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有二阶连续偏导数，若对以任一点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 为中心，以任意 $r>0$ 为半径的上半圆周
$$
L_r: y-y_0=\sqrt{r^2-\left(x-x_0\right)^2} .
$$
均有 $I(r)=\int_{L_r} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$. 证明:
$$
P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \equiv 0
$$
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x^2-y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=16 z\left(x^2+y^2\right)$, 若 $f(1)=0$, $f^{\prime}(1)=2$.
(I) 求 $f(u)$ 的表达式;
(II) 记 $g(x, y)=3 x y-x^3-y^3$, 求 $f[g(x, y)]$ 的极值.
设函数 $z=u^2 \ln v$ ，而 $u=\frac{1}{y}, v=3 x+2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}\right.$ 确定两个隐函数 $x=x(z), y=y(z)$ ，计算 $\frac{d x}{d z}, \frac{d y}{d z}$
求函数 $z=f(x, y)=3 x^2+3 y^2-x^3$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 上的最大值与最小值.