一、单选题
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
函数 $f(x)=\frac{|x|^{2 x}-1}{x(x+2) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $k$ 为非零整数, 函数 $f(x)=\frac{k x}{k+1+\mathrm{e}} \mathrm{kx}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 存在, 则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-\sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x-\ln (1+\tan x)]\left(e^x-1\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}|x-y|^a \frac{\sin x y^2}{x^2+y^4}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 给出以下结论:
(1) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且偏导数存在;
(2) 当 $\alpha \geqslant 1$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微;
(3) 当 $\alpha>2$ 时, $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续;
(4) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿任意方向的方向导数均存在.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
二、填空题
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
三、解答题
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$
设 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n^2-1}$, 求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性.
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
试证: 当 $x \geqslant 0$ 时, $x \leqslant \mathrm{e}^x \ln (1+x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{4}}+(1-\sin x)^{\frac{1}{4}}-2}{x^2}$.
设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上定义的连续且黎曼可积函数，证明: $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin (\lambda x) \mathrm{d} x=0$.
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^5 x^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛.