初中数学

计算: $\left(1-\frac{1}{100}\right)\left(1-\frac{1}{99}\right)\left(1-\frac{1}{98}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=$

已知 $a+b+c+d=0, a b c d < 0$, 则 $\frac{|a|}{b+c+d}+\frac{|b|}{a+c+d}+\frac{|c|}{a+b+d}+\frac{|d|}{a+b+c}=$

已知 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1$, 求 $\frac{4 x+5 x y-4 y}{x-3 x y-y}$ 的值。

若 $x \neq 0$, 则 $\frac{\sqrt{1+x^2+x^4}-\sqrt{1+x^4}}{x}$ 的最大值是

设 $x_i=\sqrt{2}-1$ 或者 $\sqrt{2}+1, i=1,2, \cdots, 2012$. 令
$$
S=x_1 x_2+x_3 x_4+\cdots+x_{2011} x_{2012} .
$$
(1) $S$ 能否等于 2013 ? 证明你的结论;
(2) $S$ 能取到多少个不同的整数值?

已知 $\frac{y+z-x}{x+y+z}=\frac{z+x-y}{y+z-x}=\frac{x+y-z}{z+x-y}=p$, 则 $p^3+p^2+p=$

若实数 $a, b, c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=9$, 代数式 $(a-b)^2+(b-c)^2$ $+(c-a)^2$ 的最大值是

求所有的正整数 $x, y$ 满足方程 $\sqrt{x y+2019}=\sqrt{x}+\sqrt{2019}$.

已知实数 $a, b, x, y$ 满 足 $a+b=x+y=2, a x+b y=5$, 则 $\left(a^2+b^2\right) x y+a b\left(x^2+y^2\right)=$

若实数 $x, y, z$ 满足 $x+\frac{1}{y}=4, y+\frac{1}{z}=1, z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}$, 求 $x y z$ 的值.

设 $n$ 是正整数, 且使得 $2^4+2^7+2^n$ 是完全平方数, 求 $n$ 的值.

阅读下列两则材料, 回答问题
材料一: 我们将 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”
因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$, 所以构造“对偶式”相乘可以有效地将 $(\sqrt{a}+$ $\sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 中的“ $\sqrt{ }$ ”去掉

例如: 已知 $\sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}=2$, 求 $\sqrt{25-x}+\sqrt{15-x}$ 的值.
解: $(\sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}) \times(\sqrt{25-x}+\sqrt{15-x})=(25-x)-(15-x)=10$
$$
\begin{aligned}
& \because \sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}=2, \\
& \therefore \sqrt{25-x}+\sqrt{15-x}=5
\end{aligned}
$$

材料二: 如图, 点 $A\left(x_1, y_1\right)$, 点 $B\left(x_2, y_2\right)$, 以 $A B$ 为斜边作Rt $\triangle A B C$,
则 $C\left(x_2, y_1\right)$, 于是 $A C=\left|x_1-x_2\right|, B C=\left|y_1-y_2\right|$, 所以
$$
A B=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \text {. }
$$

反之, 可将代数式 $\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$ 的值看作点 $\left(x_1, y_1\right)$ 到点 $\left(x_2, y_2\right)$ 的距离. 例如
$$
\sqrt{x^2-2 x+y^2+2 y+2}=\sqrt{\left(x^2-2 x+1\right)+\left(y^2+2 y+1\right)}=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+[y-(-1)]^2} .
$$

所以可将代数式 $\sqrt{x^2-2 x+y^2+2 y+2}$ 的值看作点 $(x, y)$ 到点 $(1,-1)$ 的距离.
(1) 利用材料一, 解关于 $x$ 的方程: $\sqrt{20-x}-\sqrt{4-x}=2$, 其中 $x \leq 4$ ；
(2)①利用材料二, 求代数式 $\sqrt{x^2-2 x+y^2-16 y+65}+\sqrt{x^2+4 x+y^2-4 y+8}$ 的最小值, 并求出此时 $y$ 与 $x$ 的函数关系式, 写出 $x$ 的取值范围;
② 将①所得的 $y$ 与 $x$ 的函数关系式和 $x$ 的取值范围代入 $y=\sqrt{2 x^2+5 x+12}+\sqrt{2 x^2+3 x+6}$ 中解出 $x$, 直接写出 $x$ 的值.

若 $a b c=1$, 解方程 $\frac{2 a x}{a b+a+1}+\frac{2 b x}{b c+b+1}+\frac{2 c x}{c a+c+1}=1$