一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
(1). 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(2). 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(3). 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(4.) 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ (2)
$\text{B.}$ (1)(3)(4)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $4$
设 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & -1\end{array}\right)$, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 且 $A B=0$, 则必有
$\text{A.}$ $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ $|A|=|B|=0$
$\text{C.}$ $A=B=0$
$\text{D.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
可量组 $a_1=(1,1,1,1)^T, a_2=(1,2,3,4)^T, a_3=(0,1,2,3)^T$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 是 3 阶矩阵, 且 $|A|=-2$ 则 $\left|\left(\frac{1}{12} A\right)^{-1}+(3 A)^*\right|=$
$\text{A.}$ -108
$\text{B.}$ 108
$\text{C.}$ 54
$\text{D.}$ -54
设向量组 $a_1=(1,-t, 3,0)^T, a_2=(0,2,-t, 2)^T, a_3=(-1,4,-3,0)^T$, 若 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关,则 $t=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知 $a=(k, 1,1)^T$ 是 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的一个特征向量, 则 $k=$
$\text{A.}$ $k=1$ 或 $k=-2$
$\text{B.}$ $k=-1$ 或 $k=-2$
$\text{C.}$ $k=-1$ 或 $k=2$
$\text{D.}$ $k=1$ 或 $k=2$
设 4 阶矩阵 $A$ 的秩为 $3, \eta_1, \eta_2$ 为非齐次线性方程 $A x=b$ 的两个不同的解, $c$ 为任意常数,则该方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1-\eta_2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+c \eta_1$
$\text{C.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1+\eta_2}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+c \eta_1$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, $i, j=1,2,3, \boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\mathrm{T}}$, 若 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为 $3 y_1^2-2 y_2^2+y_3^2$, 则 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j$ 经可逆变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 可化为规范形
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $-y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $P_i\left(x_i, y_i, z_i\right)(i=1,2, \cdots, n ; n>3)$ 是不重合的点, $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ z_1 & z_2 & \cdots & z_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right]$, 若 $P_1$ $P_2, \cdots, P_n$ 共面, 则 $r(\boldsymbol{A})$
$\text{A.}$ 必为 2 .
$\text{B.}$ 为 1 或 2 .
$\text{C.}$ 为 2 或 3 .
$\text{D.}$ 必为 3 .