一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_4=(-3,0,1)^{\mathrm{T}}$, 且 $\boldsymbol{A}_i=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}, i=1,2,3,4$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2,3,4$ 中不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_3$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}_4$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 又 $\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}|=$.
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 0
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2\end{array}\right)$, 其中 $a, b, c, d$ 互不相同, $M_i(i=1,2,3,4)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 划掉第 $i$ 列后所得 3 阶矩阵的行列式, $\boldsymbol{b}=\left(1, a, a^2\right)^{\mathrm{T}}$. 若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同的解,则
$\text{A.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(M_1, M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{B.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2,-\boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{C.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1,-M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(2,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
$\text{D.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1, M_2,-M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(1,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
设 $\eta_1, \eta_2$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同解, 且 $r(A)=2$, 则方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+k \eta_2(k \in R)$
$\text{B.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{C.}$ $k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{D.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1+\eta_2\right)(k \in R)$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 有解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $R(A) < m$
$\text{B.}$ $R(A) < n$
$\text{C.}$ $R(A, b)=R(A)$
$\text{D.}$ $|A| \neq 0$
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=a \neq 0$ ，而 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=(\quad)$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $a^{n-1}$
$\text{D.}$ $a^n$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设向量 $\boldsymbol{\xi}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-3,1,0)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 也可由向量 $\boldsymbol{\beta}_1=(3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=$ $(2,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\xi}=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 是线性空间 $V$ 的两个基, $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, 若 $\alpha_1=\beta_1-\beta_2, \alpha_2=\beta_2-\beta_3, \alpha_3=2 \beta_3-\beta_1$, 且 $T\left(\alpha_1\right)=\beta_1+\beta_2, T\left(\alpha_2\right)=\beta_2+\beta_3, T\left(\alpha_3\right)=\beta_3+\beta_1$,
1）求由基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 到基 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 的过渡矩阵 $C$;
2）求线性变换 $T$ 在两个基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 下的矩阵 $A$ 与 $B$.
在线性空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, $\mathrm{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 定义为: $T\left(x_1, x_2, x_3\right)^T=\left(x_1+x_2, x_2, x_1+x_2+x_3\right)^T$,
1) 求线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$;
2) 求线性变换 $T$ 的特征值与特征向量。
设 $A, B$ 均为 2 阶实对称矩阵, $A$ 的特征值为 $1,2, B$ 的特征值为 2 , 3. 证明:
(I) 若存在 $\xi$, 使得 $\frac{\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2$, 则 $\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 2 的特征向量;
(II) 若存在 $\boldsymbol{\xi}$, 使得 $\frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2, \frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=3$, 则 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & b \\ 2 & c & -2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & d_1 & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
(I) 求常数 $a, b, c$;
(II) 判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化, 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化,则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵, 反之说明理由.
设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right)$, 其中 $b$ 为正整数.
(1) 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$;
(2) 对于 (1) 中的 $a, b$, 是否存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$, 若存在, 求出 $Q$, 若不存在, 说明理由.
已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值之和为 $1,|\boldsymbol{A}|=-12$; 且方程 $\left(\boldsymbol{A}^*-4 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有一个解向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,-2)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求方程 $\left(\boldsymbol{A}^*+6 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解.
已知非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1+x_2+3 x_3-3 x_4=1 ; \\
4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=b ; \\
a x_1+x_2+x_3+x_4=-1 .
\end{array}\right.
$$
有 3 个线性无关的解, 求参数 $a, b$ 的值与方程组的通解.
设 4 维向量组 $A: \alpha_1=(1,0,2,3)^T, \alpha_2=(1,1,3,5)^T \alpha_3=(1,2,4, a+6)^T$, $\alpha_4=(2,1, b+5,8)^T$ 的秩为 2 ,
(1) 求参数 $a, b$ 的值;
(2) 求 $A$ 的一个最大线性无关组, 并用最大线性无关组表示向量组其余向量.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵, 证明 $A B$ 也为正交矩阵.
问 $a, b$ 我何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1 \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1\end{array}\right.$有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解.