单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^x+a x^2+b x\right)^{\frac{1}{2}}=1$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1, x < 0, \\ 1, x \geq 0,\end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l}2-a x, x \leq-1, \\ x,-1 < x < 0, \\ x-b, x \geq 0 .\end{array}\right.\right.$
若 $f(x)+g(x)$ 在 $R$ 上连续，则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=2$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$,
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
$\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^2}(1-x y) \mathrm{d} y+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{2-x^2}(1-x y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{6}$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2[\arctan (x+1)-\arctan x]=$
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int_5^{+\infty} \frac{1}{x^2-4 x+3} \mathrm{~d} x=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\ln z+e^{z-1}=x y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(2, \frac{1}{2}\right)}=$
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关向量组. 若
$$
A \alpha_1=2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, A \alpha_2=\alpha_2+2 \alpha_3 ，
$$
$A \alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3$ ，则 $A$ 的实特征值为 $\qquad$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$.
已知连续函数 $f(x)$ 满足
$$
\int_0^x f(t) \mathrm{d} t+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=a x^2 .
$$
(I)求 $f(x)$ ；
(II)若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 1 ，求 $a$ 的值.
设平面区域 $D$ 由曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D(x+2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
已知常数 $k \geq \ln 2-1$. 证明:
$$
(x-1)\left(x-\ln ^2 x+2 k \ln x-1\right) \geq 0 .
$$
已知曲线 $L: y=\frac{4}{9} x^2(x \geq 0)$ 和点 $O(0,0)$ ，点 $A(0,1)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点， $S$ 是直线 $O A$ 与直线 $A P$ 及曲线 $L$ 所围成图形的面积，若 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 4 ，求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 规范形.