填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=x y e^{x^2+y^2}$, 求 $z_{x y}^{\prime \prime}$ 。
解方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x^2$ 。
求椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1$ 在点 $(1,-1,1)$ 处的切平面方程。
求函数 $u=x^2+y^2-8 x+4 y$ 在 $D: x^2+y^2 \leq 9$ 上的最值。
计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega}(x+y+z) d x d y d z$, 其中 $\Omega:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 1$ 。
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\ln ^2 n}$ 收敛性。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}(x-1)^n$ 的收敛半径与收敛区间。
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2-1\right) 2^n}$ 的和。
求 $\int_{\mathrm{L}}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$, 其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。
求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ 被平面 $z=\frac{a}{4}$ 与 $z=\frac{a}{2}$ 所夹部分的面积。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x+y^2 z\right) d y d z+(4 y+1) d z d x+z d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧。
设 $f(x)=\sin (a x), x \in[-\pi, \pi)$ （ $a$ 不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数 $S(x)$ 。
设可微函数 $f(x)$ 是方程 $\left(x-2 y^3\right) d x+3 x y^2 d y=0$ 的解, 且 $f(1)=1$ 。
（1）求 $f(x)$ 的表达式;
（2）讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(f\left(n^3\right)\right)^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 收敛性。