单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $x \rightarrow 0$ 时， $e^{\tan x}-e^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
& S_1=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), \\
& S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1-e^{-x} \text {. }$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值， $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x & x \leq 0 \\ x+2 & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & x < 0 \\ -x & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则 $g[f(x)]=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{B.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(\cos x)^{x^{-2}} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$
设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$ ，则 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(4-x)}}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^2+4 x+8}=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,-1,1), \alpha_2=(2,0, t, 0), \alpha_3=$ $(0,-4,5,-2)$ 的秩为 2 ，则 $t=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ 2 y-t y^2+e^t=5\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
计算 $\int e^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$.
求方程 $\left(3 x^2+2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x+\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解.
已知 $y_1=x e^x+e^{2 x}, y_2=x e^x+e^{-x}, y_3=x e^x$ $+e^{2 x}+e^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 且 $A^2-A B=E$, 其中 $E$ 是三阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
问 $\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+\lambda x_2-x_3=1 \\ \lambda x_1-x_2+x_3=2 \\ 4 x_1+5 x_2-5 x_3=-1\end{array}\right.$ 无解?
有唯一解或有无穷解? 并在有无穷解时写出方程组的通解.
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=r(\theta), M(r, \theta)$ 为 $L$ 上任一点， $M_0(2,0)$ 为 $L$ 上一定点，若极径 $O M_0, O M$ 与曲线 $L$ 所围成的曲边扇形面积值等于 $L$ 上 $M_0, M$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的直角坐标方程.
设 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内大于零，并满足 $x f^{\prime}(x)=f(x)+\frac{3 a}{2} x^2$ ( $a$ 为常数). 又曲线 $y=f(x)$ 与 $x=1, y=0$ 所围成的图形 $S$ 的面积值为 2 ，求函数 $y=f(x)$ ，并问 $a$ 为何值时，图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
已知 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，设 $\varphi(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $\varphi^{\prime}(x)$ 并讨论 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
就 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x-\frac{\pi}{2} \sin x=k$ 在开区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内根的个数，并证明你的结论.