单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,2\}, B=\left\{x \mid x^2-4 x+3=0\right\}$, 则 $C_U(A \cup B)=$
$\text{A.}$ $\{1,3\}$
$\text{B.}$ $\{0,3\}$
$\text{C.}$ $\{-2,1\}$
$\text{D.}$ $\{-2,0\}$
执行下边的程序框图, 输出的 $n=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
已知向量 $\vec{a}=(3,4), \vec{b}=(1,0), \vec{c}=\vec{a}+t \vec{b}$, 若 $\langle\vec{a}, \vec{c}\rangle=\langle\vec{b}, \vec{c}\rangle$, 则 $t=$
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ -5
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
记 $S_n$ 为等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $S_4=-5, S_6=21 S_2$, 则 $S_8=()$
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 85
$\text{C.}$ -85
$\text{D.}$ -120
将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$. 过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$. 已知 $P F_2=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq-1, \\ x-y \geq-1, \\ 2 x-y \leq 1,\end{array}\right.$ 则$z=x+2y$最大值是
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=4, O$ 为 $A C_1$ 的中点, 若该正方体的棱与球 $O$ 的球面有公共点, 则球 $O$ 的半径的取值范围是
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$. 当 $\frac{A C}{A B}$取得最小值时, $B D=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_1=1,\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1)求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(2)证明: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} < 2$.
设拋物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点. 当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时, $|M F|=3$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2)设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$. 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.
(1) 证明: 当 $0 < x < 1$ 时, $x-x^2 < \sin x < x$;
(2) 已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^2\right)$, 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 求 $a$ 的取值范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$.
(1)写出 $l$ 的直角坐标方程;
(2)若 $l$ 与 $C$ 有公共点, 求 $m$ 的取值范围.
已知 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^2+b^2+4 c^2=3$,证明:
(1) $a+b+2 c \leq 3$ ；
(2)若 $b=2 c$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.