解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $s_k=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\cdots+\lambda_n^k(k=1,2, \cdots)$, 求证：
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
n & s_1 & s_2 & \cdots & s_{n-1} \\
s_1 & s_2 & s_3 & \cdots & s_n \\
\cdots \\
s_{n-1} & s_n & s_{n+1} & \cdots & s_{2 n-2}
\end{array}\right|=\prod_{1 < j < i < n}\left(\lambda_i-\lambda_j\right)^2 .
$$
求下列 $n$ 枏行列式的值:
$$
D_{\mathrm{n}}=\left|\begin{array}{ccccc}
2 n & n & & & 0 \\
n & 2 n & n & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & n & 2 n & n \\
0 & & & n & 2 n
\end{array}\right| .
$$
设 $\alpha, \beta 、 \gamma$ 是方程 $x^3+p x+q=0$ 的根, 求下列行列式的值:
$$
D=\left|\begin{array}{lll}
\boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\beta} & \boldsymbol{\gamma} \\
\gamma & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\beta} \\
\boldsymbol{\beta} & \gamma & \boldsymbol{\alpha}
\end{array}\right|
$$
费波㑚舍 (Fibonacci) 数 $F_1$ 由条件: $F_1=1, F_2=2, F_n=F_{n-1}+F_n{ }_2(n \geqslant 3)$ 所定义,
求证:
$$
F_n=\left|\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & & & 0 \\
-1 & 1 & 1 & & & \\
& -1 & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & 1 & \\
0 & & & \ddots & 1 & 1 \\
0 & & & & -1 & 1
\end{array}\right| .
$$
$A_1$ 合同于 $B_1$.， $A_2$ 合同于 $B_2$, 求证:
$$
\left[\begin{array}{cc}
A_1 & 0 \\
0 & A_2
\end{array}\right] \text { 合同于 }\left[\begin{array}{cc}
B_1 & 0 \\
0 & B_2
\end{array}\right] \text {. }
$$