河北省部分学校2023-2024学年高三上学期摸底考试数学试题答案



一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1. 已知全集 U=AB={xN0x8},A(CUB)={1,3,5}, 则集合 B
A. {2,4,6,7} B. {0,2,4,6,8} C. {0,2,4,6,7,8} D. {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

2. 已知直线 lmn 与平面 αβ, 下列命题正确的是
A.α//β,lα,nβ, 则 l//n B.αβ,lα, 则 lβ C.ln,mn, 则 l//m D.lα,l//β, 则 αβ

3. 若抛物线 x2=2py(p>0) 上一点 M(n,6) 到焦点的距离是 4p, 则 p 的值为
A. 127 B. 712 C. 67 D. 76

4. 在党的二十大报告中, 习近平总书记提出要发展 “高质量教育”, 促进城乡教育均衡发展. 某地区教育行政部门积极响应党中央号召, 近期将安排甲、乙、丙、丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作, 则每个地区至少安排 1 名专家的概率为
A. 19 B. 49 C. 13 D. 827

5. 蚊香具有悠久的历史, 我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下: 在水平直线上取长度为 1 的线段 AB, 作一个等边三角形 ABC, 然后以点 B 为圆心, AB 为半径逆时针画圆弧交线段 CB 的延长线于点 D (第一段圆弧), 再以点 C为圆心, CD 为半径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E, 再以点 A 为圆心, AE 为半径逆时针画圆弧以此类推,当得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时, “蚊香”的长度为
A. 44π B. 64π C. 70π D. 80π

6. 已知圆 C:x2+2x+y21=0, 直线 mx+n(y1)=0 与圆 C 交于 A,B 两点. 若 ABC 为直角三角形, 则
A. mn=0 B. mn=0 C. m+n=0 D. m23n2=0

7. 现有甲、乙两组数据, 每组数据均由六个数组成, 其中甲组数据的平均数为 3 , 方差为 5 , 乙组数据的平均数为 5 , 方差为 3 . 若将这两组数据混合成一组, 则新的一组数据的方差为
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5

8. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇, 定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2) 的曼哈顿距离为: d(A,B)=|x1x2|+|y1y2|.已知点 M 在圆 O:x2+y2=1 上,点 N 在直线 l:3x+y9=0 上, 则 d(M,N) 的最小值为
A. 91010 B. 910101 C. 182105 D. 3103

二、多选题 (共 3 题 ),每题有多个选项正确
9. 设集合 P={x0x4},Q={y0y4}, 则下列图象能表示集合 P 到集合 Q 的函数关系的有
A. B. C. D.

10. 已知二项展开式 f(x)=(x31x)8, 下列说法正确的有
A. f(x) 的展开式中的常数项是 56 B. f(x) 的展开式中的各项系数之和为 0 C. f(x) 的展开式中的二项式系数最大值是 70 D. f(i)=16, 其中 i 为虚数单位

11.ABC 中, 若 A=nB(nN), 则
A. 对任意的 n2, 都有 sinA<nsinB B. 对任意的 n2, 都有 tanA<ntanB C. 存在 n, 使 sinA>nsinB 成立 D. 存在 n, 使 tanA>ntanB 成立

三、填空题 (共 3 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
12. 已知单位向量 a,b 满足 |2a+b|=3, 则 |ab|=

13. 定义两个点集 ST 之间的距离集为 d(S,T)={PQPS,QT}, 其中 |PQ| 表示两点 PQ 之间的距离, 已知 ktR,S={(x,y)y=kx+t,xR},T={(x,y)y=4x2+1,xR}, 若 d(S,T)=(1,+), 则 t 的值为

14. 已知 C:y2=32x, 过点 P(1,0) 倾斜角为 60 的直线 lCAB 两点 ( A 在第一象限内), 过点 AADx 轴, 垂足为 D, 现将 C 所在平面以 x 轴为翻折轴向纸面外翻折, 使得 x上平面 x下平面 =2π3, 则几何体 PABD 外接球的表面积为

四、解答题 (共 5 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知函数 f(x)=alnxx.
(1) 当 a=1 时, 求函数 f(x) 的单调区间;
(2) 当 a>0 时, 求函数 f(x) 的最大值.

16.Sn 为数列 {an} 的前 n 项和, 已知 {Snn(n+1)} 是首项为 12 、公差为 13 的等差数列.
(1) 求 {an} 的通项公式;
(2) 令 bn=(2n1)anSn,Tn 为数列 {bn} 的前 n 项积, 证明: i=1nTi6n15.

17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功, 且每次试验的成功概率为 p(0<p<1). 现对该产品进行独立重复试验, 若试验成功, 则试验结束; 若试验不成功, 则继续试验, 且最多试验 8 次. 记 X 为试验结束时所进行的试验次数, X 的数学期望为 E(X).
(1) 证明: E(X)<1p;
(2) 某公司意向投资该产品, 若 p=0.2, 每次试验的成本为 a(a>0) 元, 若试验成功则获利 8a 元, 则该公司应如何决策投资? 请说明理由.

18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1F2, 离心率为 12, 经过点 F1且倾斜角为 θ(0<θ<π2) 的直线 l 与椭圆交于 AB 两点 (其中点 Ax 轴上方), ABF2 的周长为 8 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 如图, 将平面 xOy 沿 x 轴折叠, 使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 AF1F2 ) 与 y轴负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 BF1F2 ) 互相垂直.

(1)若 θ=π3, 求异面直线 AF1BF2 所成角的余弦值;
(2) 是否存在 θ(0<θ<π2), 使得折叠后 ABF2 的周长为 152 ? 若存在, 求 tanθ 的值; 若不存在, 请说明理由.

19. 已知定义域为 R 的函数 h(x) 满足: 对于任意的 xR, 都有 h(x+2π)=h(x)+h(2π), 则称函数 h(x) 具有性质 P.
(1) 判断函数 f(x)=2x,g(x)=cosx 是否具有性质 P; (直接写出结论)
(2) 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(32<ω<52,φ|<π2), 判断是否存在 ω,φ, 使函数 f(x) 具有性质 P ? 若存在, 求出 ω,φ 的值; 若不存在, 说明理由;
(3) 设函数 f(x) 具有性质 P, 且在区间 [0,2π] 上的值域为 [f(0),f(2π)].

函数 g(x)=sin(f(x)), 满足 g(x+2π)=g(x), 且在区间 (0,2π) 上有且只有一个零点.

求证: f(2π)=2π.

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