单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
行列式 $\left|\begin{array}{lll}4 & 3 & 9 \\ 5 & 7 & 1 \\ 3 & 5 & 4\end{array}\right|$ 中, 代数余子式 $A_{21}=$
$\text{A.}$ 33
$\text{B.}$ -33
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -5
若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 ________ , 则称 $\boldsymbol{A}$ 是正交阵.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{-1}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 则 $|k \boldsymbol{A}|=$
$\text{A.}$ $k^n|A|$
$\text{B.}$ $k|A|$
$\text{C.}$ $|k||A|$
$\text{D.}$ $(k|\boldsymbol{A}|)^n$
以下结论正确的是
$\text{A.}$ 对向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$, 如果 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 就必有 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关;
$\text{B.}$ 如果有一组不全为零的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 使得 $\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_n \boldsymbol{\alpha}_n \neq \boldsymbol{0}$ 成立, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关;
$\text{C.}$ 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则其中每一个向量都能被其余向量线性表示;
$\text{D.}$ 若 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关.
若在齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}_{3 \times 5} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一般解中, 只有两个自由未知量 $x_4, x_5$, 则在确定 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系时, 以下结论正确的是
$\text{A.}$ 基础解系中解向量的个数必为 5
$\text{B.}$ 只能分别取 $x_4=1, x_5=0$ 或 $x_4=0, x_5=1$
$\text{C.}$ 基础解系中解向量的个数必为 3
$\text{D.}$ 不能分别取 $x_4=3, x_5=2$ 或 $x_4=6, x_5=4$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $\lambda=$ ________ 时, 齐次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2=0, \\ \lambda x_1+x_2 \triangleq 0,\end{array}\right.$ 有非零解.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关, 则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系中含有解的个数为
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 3 & 5\end{array}\right)$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算下列行列式的值或矩阵的逆矩阵
(1) $\left|\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$
(2) $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$ 与 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$
当 $\lambda$ 为何值时,线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2\end{array}\right.$ 有唯一解? 无解?有无穷解? 当有解时, 求出方程组的解
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\right)$, 求矩阵 $\boldsymbol{X}$, 使满足等式 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ 相似,
(1)求 $a$;
(2)求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$,使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$;
(3) 求一个正交变换, 化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+x_2^2+3 x_3^2$ 为标准形.
给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,0,4), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,5,6), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,-2,0), \boldsymbol{\alpha}_4=(3,0,7, k)$.
(1)当 $k$ 为何值时, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)
已知四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为: $1,2,3,4$.
(1)分别求 $3 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值;
(2)求 $5 \boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵的行列式 $\left|(5 \boldsymbol{A})^*\right|$ 的值
若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n \geq 2)$, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1$, 证明 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$