单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $U=\{-1,0,1,2\}, A=\{-1,2\}$, 则 $C_U A=$
$\text{A.}$ $A=\{0\}$
$\text{B.}$ $A=\{1\}$
$\text{C.}$ $A=\{0,1\}$
$\text{D.}$ $\varnothing$
命题 “ $\exists x \in[2,+\infty), x^2 \leqslant 4$ ” 的否定形式为
$\text{A.}$ $\forall x \in[2,+\infty), x^2>4$
$\text{B.}$ $\forall x \in(-\infty, 2), x^2>4$
$\text{C.}$ $\forall x \in[2,+\infty), x^2 \leqslant 4$
$\text{D.}$ $\forall x \in(-\infty, 2), x^2 \leqslant 4$
若点 $P\left(\sin \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ 在角 $\alpha$ 的终边上, 则 $\tan \alpha$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
若函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的偶函数, 则 “ $a=3$ ” 是 “ $f(a-1)=f(2)$ ” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知扇形 $O A B$ 的面积为 $\pi, \overparen{A B}$ 的长为 $\pi$, 则 $A B=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 4
已知函数 $f(x)=\frac{a^x-b}{a-1},(a, b \in \mathbf{R}$ 且 $a>0, a \neq 1)$, 则 $f(x)$ 的单调性
$\text{A.}$ 与 $a$ 无关, 与 $b$ 有关
$\text{B.}$ 与 $a$ 有关，与 $b$ 无关
$\text{C.}$ 与 $a$ 有关，与 $b$ 有关
$\text{D.}$ 与 $a$ 无关, 与 $b$ 无关
尽管目前人类还无法准确的预报地震, 但科学家通过研究, 已经对地震有所了解。例如,地震时释放出的能量 $E$ (单位: 焦耳) 与地震级数 $M$ 之间的关系式为 $\lg E=4.8+1.5 M$ 。 2022 年 9 月 18 日 14 时 44 分在台湾省花莲县发生的 6.9 级地震它释放出来的能量大约是同年 12 月 8 日 0 时 54 分花莲近海发生的 5.6 级地震的 ________ 倍
$\text{A.}$ 50
$\text{B.}$ 100
$\text{C.}$ 200
$\text{D.}$ 300
已知函数 $f(x), \forall x, y \in R$, 有 $f(x+y)=f(x) \cdot f(a-y)+f(y) \cdot f(a-x)$, 其中 $a \neq 0, f(a) \neq 0$, 则下列说法一定正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ 存在非负实数 $T$, 使得$f(x)=f(x+T)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知 $\alpha$ 是锐角, 则
$\text{A.}$ $2 \alpha$ 是第二象限角
$\text{B.}$ $\sin 2 \alpha>0$
$\text{C.}$ $\frac{\alpha}{2}$ 是第一象限角
$\text{D.}$ $\tan \frac{\alpha}{2} < 1$
已知函数 $f(x)=x^2-1$, 则
$\text{A.}$ $f(x+1)=(x+1)^2-1$
$\text{B.}$ $f(f(x))=\left(x^2-1\right)^2-1$
$\text{C.}$ 定义域为 $[-1,0]$ 时, 值域为 $[-1,0]$
$\text{D.}$ 值域为 $\{-1,0\}$ 时, 定义域为 $\{-1,0,1\}$
已知 $a>0, b>0$, 且 $a+b=4$, 则下列取值有可能的是
$\text{A.}$ $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2$
$\text{B.}$ $a+\frac{b}{a}=2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $a^2+b^2=4 \sqrt{2}$
已知 $x_0$ 是函数 $f(x)=e^x+2 x-4$ 的零点 (其中 $e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数),则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $x_0 \in(0,1)$
$\text{B.}$ $\ln \left(4-2 x_0\right)=x_0$
$\text{C.}$ $x_0^{2-x_0}>1$
$\text{D.}$ $2 x_0+1-e^{-x_0}>0$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=x^\alpha-2^x$ 的图象经过点 $\left(2,-\frac{7}{2}\right)$, 则 $\alpha=$
已知 $2^{a+3}+4^b=4^a+2^{b+3}(a, b \in \mathrm{R}, a \neq b)$, 则 $a+b$ 的最大值为
已知函数 $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$, 若对任意实数 $x$ 满足不等式 $f\left(a x^2\right) \cdot f(-2 x+1) \geqslant 1$,则实数 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
化简求值:
( I ) $27^{\frac{2}{3}}-\sqrt{(-3)^2}+\log _3 36-2 \log _3 2$;
(II) 已知 $\tan \alpha=\frac{1}{2}$, 求 $\frac{13 \cos (-\alpha)-2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+3 \sin (\pi+\alpha)}$ 的值.
已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 < 0\right\}, B=\left\{x \mid 1 < 2^x < 16\right\}$.
(I) 求 $A \cup B$;
(II) 设集合 $C=\{x \mid a < x < a+2, a \in \mathrm{R}\}$, 若 $C \subseteq(A \cup B)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}-\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$.
(I) 求 $f(x)$ 的定义域;
(II) 已知 $x$ 为第一或第二象限角, 且 $f(x)=2 \sqrt{3}$, 求 $x$.
已知 $a, b$ 为正实数, 函数 $f(x)=x^2-(a+2 b) x+2 a b$
(I) 若 $f(1)=1$, 求 $2 a+b$ 的最小值;
(II) 若 $f(0)=2$, 求不等式 $f(x) \leqslant 0$ 的解集 (用 $a$ 表示).
某地为了改善中小型企业经营困难, 特推进中小型企业加快产业升级, 着力从政府专项基金补贴扶持, 产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业。某企业 $A$ 在产业升级前后的数据如下表:
若该企业在政府指导价下出售产品, 能将其生产的产品全部售出. 注: 收益=销售金额 + 政府专项补贴一成本.
( I ) 当该企业没有政府补贴时, 收益是多少?
(II) 从 $A$ 企业经营者角度分析, 是不是申请的政府补贴越多, 收益越大? 若是请说明理由, 若不是, 则该企业向政府申请多少专项基金补贴, 所获收益最大?
设函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
(I) 证明: 函数 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减;
(II) 求函数 $g(x)=f(x)+f(1-x)+a \sqrt{x(1-x)}(a \in R)$ 的值域.