2023复旦大学数学英才班选拔考试试题及解答(竞赛)



解答题 (共 5 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\underline{x}=\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\right)$ 是 $(1,2,3, \cdots, n)$ 的一个全排列 $(n \geq 2)$ ,设
$$
S(\underline{x})=x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_4+\cdots+x_{n-1} x_n
$$
求 $S(\underline{x})$ 的最小值及此时的 $\underline{x}$.

是否存在函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,满足对 $x , y \in \mathbb{R}$ ,恒有
$$
\frac{f(x)+f(y)}{2} \geq f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y| ?
$$
证明你的结论.

对正整数 $n , k , d$ ,记 $m(d, k, n)$ 为满足下列条件的 $\left(a_1, \cdots, a_d\right)$ 的组数:
(1) $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_d \leq k$ ;
(2) $a_1+a_2+\cdots+a_d=n$.
求证: $m(d, k, n)=m(k, d, n)$.

求所有的点 $P$ ,使得过点 $A(1,1) , B(1,-1) , C(-1,1) , D(-1,-1)$ 和 $P$ 的圆雉曲线 $\Gamma$ 唯一.

回答下列问题:
(1) 用 $\sin 18^{\circ}$ 表示 $\cos 36^{\circ}$ ;
(2) 求 $\sin 18^{\circ}$ ;
(3) 若给定长度为 $1 , a$ 的线段,简述尺规作图作出长为 $\sqrt{a}$ 的线段的步骤;
来 (4) 简述尺规作图作出正五边形的步骤.

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