B站线帒杨《线性代数》基础与提高训练

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一、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

A = [\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

求

A^{k}

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2. 设

A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}]

, 则

A^{n} =

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3. 已知

α = (1, 2, 3) ， β = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

设

A = α^{T} β

，则

A^{n} =

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4. 设

α

为三维列向量，若

α α^{T} = [\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]

，则

α^{T} α =

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5. 设

A = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

，而

n \geq 2

为正整数，则

A^{n} - 2 A^{n - 1} =

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6. 设

A = [\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}], B = P^{- 1} A P

，其中

P

为三阶可逆矩阵，则

B^{2004} - 2 A^{2} =

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7. 设

A = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 7 \end{array}]

E

为四阶单位矩阵，且

B = (E + A)^{- 1} (E - A)

，则

(E + B)^{- 1} =

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