解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] $ 求 $ \mathbf{A}^k $
设 $A=\left[\begin{array}{lll}
2 & 0 & 2 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right] $ , 则 $ \mathbf{A}^n=$
已知 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2,3) ， \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ 设 $ \mathbf{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则 $ \mathbf{A}^n=$
设 $\alpha$ 为三维列向量，若 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，而 $\mathbf{n} \geq 2$ 为正整数，则 $\mathbf{A}^n-2 \mathbf{A}^{n-1}=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], \mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ，其中 $\mathbf{P}$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right]$. $\mathbf{E}$ 为四阶单位矩阵，且 $\mathbf{B}=(\mathbf{E}+\mathbf{A})^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ ，则 $(\mathbf{E}+\mathbf{B})^{-1}=$