2023年第十四届全国大学生数学竞赛决赛（非数学专业）完整试题及参考解答

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2023年第十四届全国大学生数学竞赛决赛（非数学专业）完整试题及参考解答

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x - \sin x} =

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2. 设

a > 0

, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{3}}{e^{a x}} d x =

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3. 点

M_{0} (2, 2, 2)

关于直线

L : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 4}{2} = z - 3

的对称点

M_{1}

的坐标为

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4. 二元函数

f (x, y) = 3 x y - x^{3} - y^{3} + 3

的所有极值的和等于

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5. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n 3^{n}} x^{n}

的收敛域为

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二、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 用正交变换将二次曲面的方程

x^{2} - 2 y^{2} - 2 z^{2} - 4 x y + 4 x z + 8 y z - 27 = 0

化为标准方程, 并说明该曲面是什么曲面.

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7. 设函数

f (x), g (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有二阶连续导数,

f (0) = g (0) = 1

, 且对

x O y

平面上的任一简单闭曲线

C

, 曲线积分

\oint_{C} [y^{2} f (x) + 2 y e^{x} - 8 y g (x)] d x + 2 [y g (x) + f (x)] d y = 0,

求函数

f (x), g (x)

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8. 求由

x O z

平面上的曲线

{\begin{cases} {(x^{2} + z^{2})}^{2} = 4 (x^{2} - z^{2}) \\ y = 0 \end{cases}

绕

O z

轴旋转而成的曲面所包围区域的体积.

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9. 证明下列不等式:
(1) 设

x \in [0, π], t \in [0, 1]

, 则

\sin t x \geq t \sin x

;
(2) 设

p > 0

, 则

\int_{0}^{\frac{π}{2}} | \sin u |^{p} d u \geq \frac{π}{2 (p + 1)}

;
(3) 设

x \geq 0, p > 0

, 则

\int_{0}^{x} | \sin u |^{p} d u \geq \frac{x | \sin x |^{p}}{p + 1}

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10. 设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上具有一阶连续导数, 证明:

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \geq \sqrt{(a - b)^{2} + [f (a) - f (b)]^{2}}

, 并给出等号成立的条件.

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11. 证明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \ln (1 + \frac{1}{2 n}) \cdot \ln (1 + \frac{1}{2 n + 1})

收敛, 并求其和,

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