填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y, z)=x^2+x y$ 在 $(1,0,1)$ 处沿方向 $\vec{v}=(2,-1,2)$ 的方向导数为
设 $z=\arctan \left(x y^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,1)}=$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right)^p \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点的两个偏导数存在，则 $p$ 的范围为
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\cos \left(n^3\right)}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}\right)$ 的敛散性
$\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{3} x} \mathrm{~d} y+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} y=$
设 $L: x^2+(y-1)^2=1$ ，则 $\int_L\left(x \sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2\right) \mathrm{d} l=$
设 $L^{+}:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1 \\ z=x\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向朝下看去，逆时针方向为正方向，则 $\int_{L^{+}} x z \mathrm{~d} z=$
微分方程 $\left(2 x y^3-y^2 \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^2 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解为
设 $f(x)=\int_0^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0=0$ 处的 Taylor 级数为
设函数 $f(y)$ 可微，且 $\int_{L(A)}^{(B)}\left(z^2 f(y)+e^x\right) \mathrm{d} x+\left(x z^2+\cos y\right) \mathrm{d} y+(2 x y z-z) \mathrm{d} z$与路径无关，则 $f(y)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\iint_D \frac{\mathbf{2} \boldsymbol{x} \mathbf{d} \boldsymbol{x} \mathbf{d} \boldsymbol{y}}{\boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathbf{3}}}$ ，其中 $D$ 是由曲线 $x y=1, x y=2, y^2=x, y^2=2 x$ 围成的有界区域。
曲面 $\Sigma: x=u \cos v, y=u \sin v, z=v(0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2 \pi)$ 。求 $\iint_{\Sigma} \frac{z}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \mathrm{~d} \boldsymbol{S}$ 。
设 $S$ 是有界闭区域
$\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4, z \geq \sqrt{x^2+y^2}\right\}$ 的边界面的外侧，求 $I=\oint_S x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
计算 $\oint_{\boldsymbol{L}^{+}} \frac{\boldsymbol{y d} \boldsymbol{x}-(\boldsymbol{x}-\mathbf{2}) \mathrm{d} \boldsymbol{y}}{(\boldsymbol{x}-\mathbf{2})^{\mathbf{2}}+\mathbf{4} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}}$ ，其中 $L^{+}: x^2+y^2=10$ ，逆时针方向。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\boldsymbol{n} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{n}}}{(\boldsymbol{n}+\mathbf{1})!}$ 的收敛域及和函数。
设 $f(x)$ 为 $2 \pi$ 周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的定义为
$$
f(x)=\frac{2 \pi|x|-x^2}{4}, x \in[-\pi, \pi]_{\circ}
$$
（I）求 $f(x)$ 的Fourier级数；
（II）利用 $f(x)$ 的Fourier级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ；
（III）利用 $f(x)$ 的Fourier级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 。
设函数 $f(x, y, z)$ 在单位球 $B=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ 上连续可微，且当 $(x, y, z)$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$ 时，$f(x, y, z)=0$ 。证明：
$$
\begin{aligned}
& \text { (I) } \iiint_B\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =-3 \iiint_B f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& \text { (II) }\left|\iiint_B f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\right| \\
& \leq \frac{\pi}{3} \max _{(x, y, z) \in B}\|\nabla f(x, y, z)\| \text {, 其中 } \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \text { 。 }
\end{aligned}
$$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（共一题，附加题不计入总分，仅用于评判成绩A＋）
设 $f_n(x)(n=1,2, \cdots)$ 在区间 $[a, b]$ 上可微，且 $\exists M>0$ ，使得
$\forall n=1,2, \cdots, \forall x \in[a, b]$ ，都有 $\left|f_n^{\prime}(x)\right| \leq M$ 。证明：若函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上逐点收敛，则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。