单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=2 n-1$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的第 $2 n-1$ 项是
$\text{A.}$ $2 n-1$
$\text{B.}$ $4 n-1$
$\text{C.}$ $4 n-3$
$\text{D.}$ $4 n-2$
若集合 $A=\left\{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\right\}, B=\{x \mid 3 x-2>0\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{1\}$
$\text{B.}$ $\left\{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{\frac{3}{4}, 1\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\right\}$
已知函数 $f(x)=x^a \mathrm{e}^{x-1}$ ，若 $f^{\prime}(1)=0$ ，则 $a=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若 $a=\log _{0.6} 0.3$ ，则 $a \in$
$\text{A.}$ $(0,0.5)$
$\text{B.}$ $(0.5,1)$
$\text{C.}$ $(1,2)$
$\text{D.}$ $(2,+\infty)$
已知函数 $y=2^x+2^{2-x}$ 的最小值为 $a$ ，则 $f(x)=\frac{a}{3^x-1}$ 的值域为
$\text{A.}$ $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-4,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-2) \cup(0,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-2,+\infty)$
若对任意 $x \in(0,+\infty), \lg x < a x$ ，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\ln 10}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\lg \mathrm{e}}{10},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\lg \mathrm{e}}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
已知公比不为 1 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $a_3 S_3=3, a_6 S_6=6$ ，则 $a_9 S_9=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 36
$\text{C.}$ 72
$\text{D.}$ 84
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=(-1)^n(3 n-2)^2$ ，集合 $A=\left\{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\right\}$ ．若将 $A$ 的所有子集分别记作 $A_k(k=1,2, \cdots, 64), A_k$ 中所有元素之和记为 $S_k$ ，则 $S_1+S_2+\cdots+S_{64}=$
$\text{A.}$ 1632
$\text{B.}$ 2448
$\text{C.}$ 4896
$\text{D.}$ 9784
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\varnothing \varsubsetneqq A \varsubsetneqq B$ ，则 $\exists x \notin A, x \in B$
$\text{B.}$ 若 $\varnothing \varsubsetneqq A \subseteq B$ ，则 $\forall x \notin A, x \notin B$
$\text{C.}$ ＂$\forall x>0, x^2>x$＂的否定是＂$\exists x>0, x^2 \leqslant x$＂
$\text{D.}$ ＂$\exists x \in \mathbf{N}^*, \frac{1}{x} \in \mathbf{N}^*$＂是真命题
下列函数中恰有 2 个零点的函数是
$\text{A.}$ $f_1(x)=|x|-\frac{1}{x}$
$\text{B.}$ $f_2(x)=x-\ln x-2$
$\text{C.}$ $f_3(x)=x^2-x \sin x$
$\text{D.}$ $f_4(x)=\left(x^2-2 x\right) \mathrm{e}^x+\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{2}}}{2}$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_n>0$ ，且 $a_2+a_4+a_6=14$ ，则
$\text{A.}$ 当 $a_2=2$ 时，$q=2$
$\text{B.}$ 当 $q>2$ 时，$a_4$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{8}{3}\right)$
$\text{C.}$ $a_4$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{14}{3}\right)$
$\text{D.}$ $a_2^2+a_4^2+a_6^2$ 的取值范围是 $\left[\frac{196}{3}, 196\right)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
＂点 $P(a, b)$ 在幂函数 $f(x)=(m+2) x^m$ 图象上＂的充要条件是
记等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $a_1+a_2=21, a_3+a_4=16$ ，则 $S_{2 n}$ 最大时 $n$ 的值为
若关于 $x$ 的方程 $a x=\frac{\left(2 x^2+2\right) \ln x}{\mathrm{e}^{a x}+1}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_3=3$ ．
（1）若 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，且 $\frac{S_5}{a_4}=3$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，且 $a_2, a_3, 5$ 成等差数列，求 $S_n$ ．
已知函数 $f(x)=\ln \left(\frac{3 x-1}{x-1}-2\right)$ ．
（1）证明：$f(x)$ 是奇函数；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(a, a+2)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-2 x^2+3 x$ ．
（1）求 $f(x)$ 的极值；
（2）若过点 $P(m, 0)$ 可作 3 条直线与 $f(x)$ 的图象相切，求 $m$ 的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}, 2 n a_{n+1}-(n+1) a_n=\frac{n^2+n}{2^{n-1}}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{a_n}{n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ；
（3）若集合 $A=\left\{n \mid a_n>t\right\}$ ，且 $A$ 中仅有 2 个元素，求 $t$ 的取值范围．
已知定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，且满足 $\{x \mid f(x)=0, x \in D\}=\varnothing$ ，记 $g(x)=\frac{x f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
（1）若 $D=(0,+\infty)$ ，写出一个符合条件的函数 $f(x)$ ，使得 $g(x)$ 的值域中只有 1 个元素，并求出该元素；
（2）若 $D=(0,+\infty), f(x)=\ln (x+2)$ ，证明：$g(x) < \frac{2}{5}$ ；
（3）已知 $D=(m,+\infty), f(x)=(x-1) \mathrm{e}^x+\ln x$ ，判断是否存在 $m$ ，使得 $g(x)>1$ ，若存在，求出 $m$ 的最小值；若不存在，请说明理由．