已知定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，且满足 $\{x \mid f(x)=0, x \in D\}=\varnothing$ ，记 $g(x)=\frac{x f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
（1）若 $D=(0,+\infty)$ ，写出一个符合条件的函数 $f(x)$ ，使得 $g(x)$ 的值域中只有 1 个元素，并求出该元素；
（2）若 $D=(0,+\infty), f(x)=\ln (x+2)$ ，证明：$g(x) < \frac{2}{5}$ ；
（3）已知 $D=(m,+\infty), f(x)=(x-1) \mathrm{e}^x+\ln x$ ，判断是否存在 $m$ ，使得 $g(x)>1$ ，若存在，求出 $m$ 的最小值；若不存在，请说明理由．