单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F(x)=\int_0^x\left(\mathrm{e}^{\sin t}-1\right) \mathrm{d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$F(x)$ 是 $x$ 的
$\text{A.}$ 同阶无穷小
$\text{B.}$ 二阶无穷小
$\text{C.}$ 三阶无穷小
$\text{D.}$ 高阶无穷小
曲线 $y=\frac{\sqrt{x^6+1}}{(x-1)(x-2)}$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\int_0^x(t-\ln (1+t)) \mathrm{d} t$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上是下凸的
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是下凸的
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是下凸的
$\text{D.}$ $f(x)$ 无下凸区间
设 $f(x)=\cos ^2 x$ ，则 $f^{(2026)}\left(\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $2^{2025}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $-2^{2025}$
$\text{D.}$ $-2^{2026}$
设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right) < 0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x)$ 的极小值为 0
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{D.}$ 点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\mathrm{e}^t \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos 2 x}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin ^4 \frac{\pi}{2 n}}{n+1}+\frac{\sin ^4 \frac{2 \pi}{2 n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin ^4 \frac{\pi}{2}}{n+\frac{1}{n}}\right)=$
曲线 $y=\frac{2}{3} x^{3 / 2}$ 从 $x=0$ 到 $x=3$ 的弧长为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} \mathrm{e}^{-n}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x \sin x-x(1+x)}{x^3}$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2026}+1\right)}$ ；
$\int \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$
$\int_0^2 x^2 \arctan (x-1) \mathrm{d} x$
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}}|f(x)| \mathrm{d} x
$$
$\left(1+y^2\right) \mathrm{d} x-x(1+x) y \mathrm{~d} y=0$
$y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=(3-2 x) \mathrm{e}^x$
设函数 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ 恒有 $f(x+y)=\mathrm{e}^y f(x)+\mathrm{e}^x f(y)$ ，且 $f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $f(x)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\xi f(\xi)-(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=(\xi-1)^2$