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南京大学线性代数期末试卷

发布日期 2025/9/25 17:31:05      查看 3      加入组卷      查看作者     
单选题
设A为n阶方阵，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若A可逆，则A的伴随矩阵也可逆 $\text{B.}$ 若A的行列式为0，则A必有一行元素全为0 $\text{C.}$ 若A为对称矩阵，则A必可逆 $\text{D.}$ 若A为正交矩阵，则A的行列式必为1
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$ $\text{B.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, 2 \alpha_2+3 \alpha_3, 3 \alpha_3+\alpha_1$ $\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$ $\text{D.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
设 A 为 $\mathrm{m} \times \mathrm{n}$ 矩阵，齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 的基础解系含有 k 个解向量，则（ ）

$\text{A.}$ $r(A)=k$ $\text{B.}$ $r(A)=n-k$ $\text{C.}$ $r(A)=m-k$ $\text{D.}$ $r(A)=m+n-k$
设 A 为 3 阶矩阵，其特征值为 $1,2,3$ ，则 $\mathrm{A}+\mathrm{E}$ 的特征值为
$\text{A.}$ $1,2,3$ $\text{B.}$ $0,1,2$ $\text{C.}$ $2,3,4$ $\text{D.}$ $-1,0,1$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $A B=0$ ，则 $A=0$ 或 $B=0$ $\text{B.}$ 若 AB 不可逆，则 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 都不可逆 $\text{C.}$ 若 AB 可逆，则 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 都可逆 $\text{D.}$ 若 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ ，则 $\mathrm{BA}=\mathrm{E}$ 不一定成立
设 A 为 n 阶方阵，且 $\mathrm{A}^2=\mathrm{A}$ ，则下列说法错误的是（）
$\text{A.}$ A 的特征值只能是 0 或 1 $\text{B.}$ $\mathrm{A}+\mathrm{E}$ 必可逆 $\text{C.}$ A－E 必可逆 $\text{D.}$ $r(A)+r(A-E)=n$
设向量组 $a_1, a_2, a_3$ 的秩为 2 ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 该向量组中必有两个向量线性无关 $\text{B.}$ 该向量组中任意两个向量都线性无关 $\text{C.}$ 该向量组中每个向量都可由其他两个向量线性表示 $\text{D.}$ 该向量组中存在一个向量可由其他两个向量线性表示
设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ A 的特征值一定都是实数 $\text{B.}$ A一定与对角矩阵相似 $\text{C.}$ A 一定是正交矩阵 $\text{D.}$ A的特征向量一定两两正交
下列矩阵中，不是初等矩阵的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
填空题
行列式 $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|$ 的值为
设矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，则 A 的逆矩阵 $\mathrm{A}^{-1}=$
向量组 $\alpha_1=(1,2,3), \alpha_2=(2,4,6), \alpha_3=(3,6,8)$ 的秩为
设 A 为 3 阶矩阵，且 $|\mathrm{A}|=2$ ，则 $\left|2 \mathrm{~A}^{-1}\right|=$
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ 2 x_1+2 x_2+2 x_3=0\end{array}\right.$ 的基础解系所含解向量的个数为
设矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，则 A 的特征值为
设向量 $\alpha=(1,2,3), \beta=(4,5,6)$ ，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积为
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2-2 A-3 E=0$ ，则 $A$ 的特征值只能是
设 A 为 3 阶正交矩阵，且 $|\mathrm{A}|=1$ ，则 $|\mathrm{A} *|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $\mathrm{A} *$ 是 A的伴随矩阵。
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 的秩为
解答题
计算 $n$ 阶行列式：

$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
a & x & a & \cdots & a \\
a & a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a & a & a & \cdots & x
\end{array}\right|
$$
解矩阵方程 $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 4 & 3
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
3 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right)
$$
求线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\
x_1+2 x_2+3 x_3+4 x_4=0 \\
x_1+3 x_2+6 x_3+10 x_4=0 \\
x_1+4 x_2+10 x_3+20 x_4=0
\end{array}\right.
$$

的通解。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求一个正交矩阵 P ，使得 $\mathrm{P}^{-1} \mathrm{AP}$ 为对角矩阵。
设 A 为 n 阶矩阵，且 $\mathrm{A}^2=\mathrm{E}$ ，证明： $\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{E})+\mathrm{r}(\mathrm{A}-\mathrm{E})=\mathrm{n}$ 。

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