已知点 $P(a+1,2 a-1)$ 关于 $x$ 轴的对称点在第一象限，求 $a$ 的取值范围．

如图 7－1 所示，在平面直角坐标系中，直线 $l$ 是第一、三象限的角平分线．

（1）由图观察易知 $A(0,2)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{\prime}$ 的坐标为 $(2,0)$ ，请在图中分别标明 $B(5,3), C(-2,5)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B^{\prime}, C^{\prime}$ 的位置，并写出它们的坐标：
$B^{\prime}$ $\qquad$ ，$C^{\prime}$ $\qquad$。
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 $P(a, b)$ 关于第一、三象限的角平分线 $l$ 的对称点 $P^{\prime}$ 的坐标为 $\qquad$ （不必证明）．
（3）已知两点 $D(1,-3), E(-1,-4)$ ，试在直线 $l$ 上确定一点 $Q$ ，使点 $Q$ 到 $D 、 E$ 两点的距离之和最小，并求出最小距离．
分析 易找到点 $B$ 关于第一、三象限角平分线的对称点 $B^{\prime}$ 的坐标为 $(3,5)$ ，再结合已知的点 $A$ 的坐标，我们不难猜想点 $C^{\prime}$ 坐标是 $(5,-2)$ ，然后找到点 $C^{\prime}$ ，可以发现 $C C^{\prime}$ 被第一、三象限角平分线垂直且平分，由此可以推想到坐标平面内任一点 $P(a, b)$ 关于第一、三象限的角平分线 $l$ 的对称点 $P^{\prime}$ 的坐标为 $(b, a)$ ，即它们纵、横坐标互换位置．

已知，点 $A(-2,0), B(4,0), C(2,4)$ ．
（1）求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）设 $P$ 为 $x$ 轴上一点，若 $S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2} S_{\triangle P B C}$ ，试求点 $P$ 的坐标．

求下列函数自变量的取值范围：
（1）$y=2 x-6$ ；
（2）$y=\frac{1}{3 x+5}$ ；
（3）$y=\sqrt{6-x}$ ；
（4）$y=\frac{\sqrt{x-5}}{x-1}$ ；
（5）$y=\frac{1}{2-\sqrt{3+x}}$ ．
分析 关系式为整式时，函数定义域为全体实数；关系式含有分式时，分式的分母不等于零；关系式含有二次根式时，被开方数不小于零；关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零。

在直角坐标系中，$A(-4,0), B(2,0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，$S_{\triangle A B C}=18$ ，
（1）求点 $C$ 的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点 $P$ ，使得 $S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}$ ．若存在，请求出 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

已知直线 $y=-2 x+3$ 与直线 $y=x-6$ 交于点 $A$ ，且两直线与 $x$ 轴的交点分别为 $B, C$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

如图 8－3 所示，$M$ 是边长为 4 的正方形 $A D$ 边的中点，动点 $P$ 自点 $A$ 起，由 $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ 匀速运动，直线 $M P$ 扫过的正方形所形成的面积为 $y$ ，点 $P$ 运动的路程为 $x$ ，请解答下列问题：
（1）当 $x=1$ 时，求 $y$ 的值；
（2）就下列各种情况，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式：（1） $0 \leqslant x \leqslant 4$ ；（2） $4 < x \leqslant 8$ ；（3） $8 < x \leqslant 12$ ．
（3）在给出的直角坐标系（如图 8－4 所示）中，画出（2）中函数的图像．

已知直线 $l: y=-2 x+2$ ．
（1）求直线 $l$ 与坐标轴的交点坐标；
（2）求此一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积．

如图 9－1 所示，已知直线 $l_1$ 经过点 $A(2,0)$ 与点 $B(0,1)$ ，另一条直线 $l_2$ 经过点 $B$ ，且与 $x$ 轴相交于点 $P(a, 0)$ ，若 $\triangle A P B$的面积为 3 ，求 $a$ 的值．

某市实施＂限塑令＂后，2008年大约减少塑料消耗约 4 万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施 ＂限塑令＂而减少的塑料消耗量 $y$（万吨）随着时间 $x$（年）逐年呈直线上升，$y$ 与 $x$ 之间的关系如图9－2所示。
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的关系式；
（2）请你估计，该市2011年因实施＂限塑令＂而减少的塑料消耗量为多少？