在 $\triangle A B C$ 中，角 $A , B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b(\tan A+\tan B)=2 c \tan B, B C$ 边中线长为 2 ．
（1）求角 A ；（2）求边 $a$ 的最小值．

如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $H$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点），
$A D / / B C, A B \perp A D, A B=2, B C=2 A D=2 \sqrt{2} .$

（1）求证：$B D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）若二面角 $A-B C-P$ 的大小为 $\alpha$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\beta$ ，求 $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$ 的值．

已知函数 $f(x)=\ln x-x+b$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$ ．
（1）证明：$b>1$ ；
（2）当 $x_1 < x_2 \leq 3 x_1$ 时，求 $x_1+3 x_2$ 的最大值；

已知有 $A, B$ 两个盒子，各装有 1 个黑球、 1 个黄球和 1 个红球，现从 $A, B$ 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 $n\left(n \in N^*\right)$ 次这样的操作后，记 $A$ 盒子中红球的个数为 $X_n$ ，恰有 1 个红球的概率为 $p_n$ ，恰有 2 个红球的概率为 $q_n$ ．
（1）并求 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $X_n$ 的数学期望．

已知曲线 $W: x^2=4 y$ ，点 $Q\left|m, \frac{m}{4}\right|(m \neq 0)$ 在曲线 $W$ 上．
（1）求曲线 $W$ 在点 $Q$ 处的切线方程；
（2）如图 1，过曲线 $W$ 外一点 A （不在 $y$ 轴上）作 $W$ 的两条切线 $A B, A C$ ，切点为 $B, C$ ，过曲线 $W$ 上一点 $M$的切线交 $A B, A C$ 于点 $B_1, C_1$ ，且 $B C / / B_1 C_1$ ，把这样的 $\triangle A B_1 C_1$ 叫做＂外切三角形＂．
（1）连接 $A M$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，请给出 $A, M, E$ 三点的纵坐标的关系；
（2）如图 2，从点 A 出发作出的第一个外切三角形是 $\triangle A B_1 C_1$ 再过点 $B_1, C_1$ 分别作出 2 个外切三角形，即 $\triangle B_1 B_2 B_3$ 和 $\triangle C_1 C_2 C_3$ ；继续过点 $B_2, B_3, C_2, C_3$ 分别作出 4 个外切三角形以此类推，依次作出 $1,2,4,8, \ldots, 2^{n-1}$个外切三角形．设 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$ ，求这些＂外切三角形＂的面积之和 $T$ ，并判断 $3 T$ 与 $S$ 的大小关系．