如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $H$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点），
$A D / / B C, A B \perp A D, A B=2, B C=2 A D=2 \sqrt{2} .$

（1）求证：$B D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）若二面角 $A-B C-P$ 的大小为 $\alpha$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\beta$ ，求 $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$ 的值．