单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列选项正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \cos \frac{1}{y}=0$ ；
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \cos \frac{1}{y}=\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} x \cos \frac{1}{y}$ ；
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} x \cos \frac{1}{y}=\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \frac{1}{y}$ ；
$\text{D.}$ $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \frac{1}{y}=1$ ．
设 $f(x, y)=x \cos \frac{1}{y}$ ，则下列选项错误的是
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续；
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 的定义域为 $\left\{(x, y) \in R^2 \mid y \neq 0\right\}$ ；
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在其定义域内连续；
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在区域 $\left\{(x, y) \in R^2|y>0,|x| < 1\}\right.$ 内有界。
函数 $u=\cos \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 $P(1,2,2)$ 处沿方向 $\vec{l}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$ 的方向导数是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \sin 9 ;$
$\text{B.}$ $\sqrt{2} \sin 9$ ；
$\text{C.}$ $-\sqrt{2} \sin 9$ ；
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3} \sin 9$ ．
已知曲线方程是 $x=t, y=\frac{1}{2} t^2+t, z=\frac{1}{2} t^2$ ，则曲线在下列哪一点处的切线平行于平面 $x+2 y+z=1$ （ ）
$\text{A.}$ $P_1\left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ；
$\text{B.}$ $P_2(2,4,2)$ ；
$\text{C.}$ $P_3(-2,0,2)$ ；
$\text{D.}$ $P_4\left(-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
以下关系不成立的是（ ）
$\text{A.}$ 偏导数连续蕴含可微；
$\text{B.}$ 可微蕴含连续；
$\text{C.}$ 偏导数存在蕴含连续；
$\text{D.}$ 可微蕴含偏导数存在．
抛物面 $z=x^2+y^2+1$ 与平面 $z=9$ 所围区域的体积是
$\text{A.}$ $32 \pi$ ；
$\text{B.}$ $36 \pi$ ；
$\text{C.}$ $\frac{64 \sqrt{2}}{3} \pi$ ；
$\text{D.}$ $\frac{81}{2} \pi$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $\ln \left(x^2+y^2\right)$ 的全微分是
设 $z=\ln (\sqrt{x}+\sqrt{y})$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
二次积分 $\int_0^\pi y d y \int_y^\pi \sin \left(x^3\right) d x=$
交换积分顺序 $\int_0^1 d x \int_0^{x^2} f(x, y) d y=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $z=3 x y-x^3-y^3$ 的极值。
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3+e^z=\int_{2 y}^{x^2} e^{-t^2} d t$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
计算积分 $\iint_D \frac{1+\cos x}{x^2} d x d y$ ，其中积分区域 $D$ 由 $y=x^2, x=1, y=0$ 所围。
在椭球面 $x^2+y^2+\frac{z^2}{4}=1,(x, y, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴的截距平方和最小。
求二重积分 $\iint_D\left(x^2+x y e^{x^2+y^2}\right) d x d y$ ，其中：
（1）$D$ 为圆域：$x^2+y^2 \leq 1$ ；
（2）$D$ 由直线 $y=x, y=-1, x=1$ 围成．
设 $F(t)=\iiint_{\Omega}\left[z^2+f\left(x^2+y^2\right)\right] d x d y d z$ ，其中 $f(u)$ 连续，
$$
\Omega: 0 \leq z \leq h, x^2+y^2 \leq t^2 \text {, 求 } \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F(t)}{t^2} \text {. }
$$