计算极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^2+y^2\right)^{x^2}$ ．

求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

写出 $f(x)=\cos (2 x) \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式．

本题只需要给出结果，不需要证明．
（1）设平面 $\Sigma$ 过点 $P_0$ ，其法向量为 $\vec{n}, P_1$ 是平面 $\Sigma$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{n}$表达出点 $P_1$ 到平面 $\Sigma$ 的距离．
（2）设直线 $L$ 过点 $P_0$ ，其方向矢量为 $\vec{\tau}, P_1$ 是 $L$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{\tau}$ 表达出点 $P_1$ 到 $L$ 的距离．
（3）设异面直线 $L_1, L_2$ 的方向矢量分别为 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ ，若已知点 $P_1$ 在 $L_1$ 上，点 $P_2$在 $L_2$ 上，请用 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 和 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ 表达出 $L_1, L_2$ 间的距离公式．

设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．

（1）设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，计算方向导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial \vec{l}}$ ，其中 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \alpha \in[0,2 \pi)$ 为单位向量．
（2）若一个二元函数 $g(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极小值，那么 $t=0$ 是否一定是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$ 的极小值点（其中 $\alpha$ 如（1）中所示），为什么？
（3）若对任意 $\alpha \in[0,2 \pi), t=0$ 是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$的极小值点，那么 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否一定是 $g(x, y)$ 的极小值点，为什么？

设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，满足：（1）$f(a)=f(b)=0$ ；（2） $\exists c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) < 0$ 。

设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：

$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$


且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：

$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b] .
$$