解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=4$ ，试求 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{a}+\vec{c})$ ．
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2-2 z=f\left(y^2-2 z\right)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 可微，求证 $y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial y}=x y$ 。
设 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}\right.$ ，计算二重积分 $\iint_D y^2 d x d y$ ．
已知椭圆 $L: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 周长为 $b$ ，求 $\oint_L\left(4 x y+9 x^2+4 y^2\right) d s$ ．
判断两直线 $L_1: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ 和 $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ 是否在同一平面内，并求两直线的的夹角。
己知 $\frac{(x+a y) d x+y d y}{(x+y)^2}$ 为某函数的全微分，求该函数并确定 $a$ 的值．
在椭球面 $2 x^2+y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+\tan z^2$ 在该点沿曲线 $x=$ $t^2, y=1-2 t, z=t^3-3 t$ 在点 $(1,-1,-2)$ 处的切线方向的方向导数最大。
求曲面积分 $I=\iint_S y z d z d x+2 d x d y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z 2_{\square}=9$ 的外侧在 $z \geq 0$的部分。
设 $f(u)$ 连续，区域 $\Omega$ 由 $0 \leq z \leq 1, x^2+y^2 \leq t^2$ 围成， $f(t)=\iiint_{\Omega}\left[z^2+f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\right] d V$ ，求 $\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{f(t)}{t^2}$ 。
已知 $b_n=\int_0^1 x \sin n \pi x d x,(n=1,2,3, \cdots)$ ，试判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} b_n}{n+1}$ 敛散性并求其和。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+(-2)^n} x^n$ 的收敛区间与收敛域。
设 $a, b$ 为任意常数，$f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内具有二阶连续导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \geq$ $m>0$ ，试讨论级数：
$a f\left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)-b f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+a f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-b f\left(\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\cdots+a f\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}\right)-b f\left(\frac{1}{\sqrt{2 n}}\right)+\cdots$ 的敛散性。