单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{1}=\frac{z+2}{2}, \\ y=0\end{array}\right.$ 上与点 $(2,1,-3)$ 最近的点是
$\text{A.}$ $(1,0,-2)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{5}, 0,-\frac{12}{5}\right)$ ．
$\text{C.}$ $(2,0,0)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2}, 0,-1\right)$
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$ ．
$\text{B.}$ $x+y+z=0$ ．
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$ ．
$\text{D.}$ $x-y-z=0$ ．
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y^3}{x^2+y^6}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不存在偏导数．
$\text{B.}$ 不连续．
$\text{C.}$ 可微．
$\text{D.}$ 连续但是不可微．
设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\left[\begin{array}{ll} & ]\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$ ．
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0, g(0) < 0$ ，且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$ ．
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$ ．
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
设曲面 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 介于 $z=-2$ 和 $z=2$ 之间的一部分，则曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^2+y z+y^2\right) d S=\left[\begin{array}{ll} \end{array}\right]
$$
$\text{A.}$ $2 \pi$ ．
$\text{B.}$ $4 \pi$ ．
$\text{C.}$ $6 \pi$ ．
$\text{D.}$ $8 \pi$ ．
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & 0 \leq|x| < \frac{\pi}{2}, \\ \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq|x| \leq \pi,\end{array}\right.$ 则它的傅里叶级数在 $x=\frac{3 \pi}{2}$ 处收敛于
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ -1 ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$ ．
设有两个数列 $\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty},\left\{b_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛．
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散．
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛．
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知单位向量 $e_1, e_2$ 互相垂直，则以 $2 e_1-e_2$ 与 $e_1+2 e_2$ 为边的三角形的面积为
记 $D: x^2+y^2 \leq r^2$ ，则二重积分 $\iint_D \frac{\sin x+2 \sin y+6}{\sin x+\sin y+4} d x d y=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^2 d S=$ ．
设 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0$ ，以及 $x+y+z=1$ 所围四面体的边界曲面的外侧，则曲面积分 $\oint_{\Sigma} x y d y d z+y z d z d x+z x d x d y=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设平面 $\Pi$ 与平面 $5 x-y+3 z-2=0$ 垂直，且它们的交线在 $x o y$ 平面上，求平面 $\Pi$ 的方程。
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=3$ ，令 $z=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{x=2, y=3}$.
设某线形构件形状为曲线 $x=e^t \cos t, y=e^t \sin t, z=e^t$ ，其上每点处的线密度与该点向径的模的平方成反比，并且在点 $(1,0,1)$ 处的密度为 1 ，求该构件对应 $t$ 从 $t=0$ 到 $t=t_0$ 这一段的质量．
计算 $\iint_{\Sigma}(8 y+1) x d y d z+2\left(1-y^2\right) d z d x-4 y z d x d y$ ，其中 $\sum$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0,\end{array}(1 \leq y \leq 3)\right.$绕 $y$ 轴旋转一周所生成的曲面，其法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$ ．
计算 $\iint_{\Sigma} x e^z d y d z+y e^z d z d x-2 e^z d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{x^2+y^2}-1$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间部分的下侧．
设 $f(x, y)=\max \{x, y\}$ ，区 域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ，计 算 二 重 积 分 $I=\iint_D f(x, y)\left|y-x^2\right| d x d y$.
设 $\frac{(x-y) d x+(x+y) d y}{\left(x^2+y^2\right)^n}$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid x>0\}$ 内是某二元函数 $u=u(x, y)$ 的全微分，求 $n$ 以及 $u(x, y)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2$ 收敛，记 $y_n=\prod_{k=1}^n \cos x_k$ ，证明：数列 $y_n$ 收敛．