解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n}=3\left(b_{n}-1\right)$ ，等差数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 中，$c_{1}=5, c_{1}+c_{2}+c_{3}=27$ ．
（1）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 与 $\left\{c_{n}\right\}$ 的共同项由小到大排列组成新数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 的积 $T_{20}$ ．
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$d=4$ ，首项 $a_{1} > 0$ ，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$的前三项。
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 中不包含 $\left\{b_{n}\right\}$ 的项按从小到大的顺序构成新数列 $\left\{c_{n}\right\}$ ，记 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{20}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n+1}=2 a_{n}-a_{n-1}, n \geq 2, n \in \mathrm{~N}^{*}, a_{1}+a_{5}=14, S_{7}=70$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$中，$b_{1}+b_{2}=12$ ，且 $b_{1}, b_{2}+6, b_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{n}$ 为区间 $\left(a_{n}, b_{n}\right]\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 中的整数个数，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ ．
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}=\frac{1}{2} \cdot 3^{n}+b$（ $b$ 为常数）．
（1）求 $b$ 的值和数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{m}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 在区间 $\left[-3^{m}, 3^{m}\right]\left(m \in N^{*}\right)$ 中的项的个数，求数列 $\left\{a_{m} c_{m}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
乙知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4}=9, S_{3}=15$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）保持数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中各项先后顺序不变，在 $a_{k}$ 与 $a_{k+1}(k=1,2, \cdots)$ 之间插入 $2^{k}$ 个 1 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{b_{n}\right\}$ ，记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ 的值．
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5}=17, S_{4}=2 a_{2}+22$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）在任意相邻两项 $a_{k}$ 和 $a_{k+1}(k=1,2,3, \mathrm{~L})$ 之间插入 $2^{k}$ 个 1 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{b_{n}\right\}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 200 项的和 $T_{200}$ ．