已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n+1}=2 a_{n}-a_{n-1}, n \geq 2, n \in \mathrm{~N}^{*}, a_{1}+a_{5}=14, S_{7}=70$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$中，$b_{1}+b_{2}=12$ ，且 $b_{1}, b_{2}+6, b_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{n}$ 为区间 $\left(a_{n}, b_{n}\right]\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 中的整数个数，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ ．